Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo:
H(x)=4-t^22-t

Passo 1

O enunciado pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico da função racional
H(t)=4 - t^22 - t
Aqui vamos usar conhecimentos de domínio de funções racionais (proibindo zeros no denominador), fatoração de expressões quadráticas e análise de funções lineares para obter a imagem e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero:
2 - t neq 0 Longrightarrow t neq 2
Logo
Dom(H)=,tinRmid tneq2=Rsetminus2

Passo 3

Fatoramos o numerador usando a diferença de quadrados:
4 - t^2=(2 - t)(2 + t)
Para tneq2 podemos cancelar o fator 2 - t, obtendo a forma simplificada
H(t)=2 + t, tneq2

Passo 4

A função simplificada é a reta y = t + 2 definida em todo R exceto no ponto onde t=2. Portanto a imagem é todos os valores de y gerados por t+2 quando tneq2. Como tto2 gera yto4 mas esse ponto não está na definição,
Im(H)=Rsetminus4

Passo 5

Esboçando o gráfico: é a reta de inclinação 1 e intercepto em 2 no eixo y, ou seja y=t+2, mas com um ponto aberto (buraco) em (2,4).

Resposta

Dom(H)=Rsetminus2
Im(H)=Rsetminus4
Gráfico: reta y=x+2 com ponto aberto em (2,4).

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