Defina um ideal de
. Mostre que
é um ideal de
.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é um ideal em
(o anel dos inteiros) e em seguida mostrarmos que, para um inteiro fixo
, o conjunto
é de fato um ideal de
. Vamos usar a definição de ideal em anel comutativo: um subconjunto
é ideal se é subgrupo aditivo de
e, para todo
e todo
, vale
.
Passo 2
Definição de ideal em anel comutativo
:
-
é subgrupo de , ou seja,
a).
b) Seentão . - Para todo
e todo temos .
Passo 3
Mostramos que
é subgrupo aditivo de
.
a) pois
.
b) Sejam . Então existem
tais que
a)
b) Sejam
Logo
e
, portanto
. Isso prova a fecharidade por subtração e, por consequência, por soma e inverso aditivo.
Passo 4
Verificamos a propriedade de absorção por multiplicação externa: seja
e
. Então existe
com
e
Como
, concluímos
.
Passo 5
Como
é subgrupo aditivo de
e satisfaz a absorção
para todo
,
, segue que
é um ideal de
.
Resposta
O conjunto
é um ideal de
.