Defina um ideal de Z. Mostre que J=n Z=n k, k in Z é um ideal de Z.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um ideal em Z (o anel dos inteiros) e em seguida mostrarmos que, para um inteiro fixo n, o conjunto
J = nZ = ,n k mid kinZ
é de fato um ideal de Z. Vamos usar a definição de ideal em anel comutativo: um subconjunto Isubseteq R é ideal se é subgrupo aditivo de R e, para todo rin R e todo ain I, vale r,ain I.

Passo 2

Definição de ideal em anel comutativo R:
  1. I é subgrupo de (R,+), ou seja,
    a) Ineq varnothing.
    b) Se a,bin I então a - bin I.
  2. Para todo rin R e todo ain I temos r,ain I.

Passo 3

Mostramos que J=nZ é subgrupo aditivo de Z.
a) Jneqvarnothing pois ncdot 0 = 0in J.
b) Sejam a,bin J. Então existem k1,k2inZ tais que
a = n k1, b = n k2
Logo
a - b = n k1 - n k2 = n,(k1-k2)
e k1-k2inZ, portanto a-bin J. Isso prova a fecharidade por subtração e, por consequência, por soma e inverso aditivo.

Passo 4

Verificamos a propriedade de absorção por multiplicação externa: seja rinZ e ain J. Então existe kinZ com a = n k e
r,a = r,(n k) = n,(r k)
Como r kinZ, concluímos r,ain J.

Passo 5

Como J é subgrupo aditivo de Z e satisfaz a absorção r,ain J para todo rinZ, ain J, segue que J é um ideal de Z.

Resposta

O conjunto J=nZ=n kmid kinZ é um ideal de Z.

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