Defina número primo. Mostre que existem infinitos números primos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, dar a definição de “número primo” (tema: teoria de divisibilidade em inteiros) e segundo, provar que há infinitos números primos (usando prova por contradição). Vamos usar resultados básicos de divisibilidade e a ideia clássica de Euclides.
Passo 2
Definimos um número primo como segue. Um inteiro
é primo se, e somente se, satisfaz duas condições:
-
. - Seus únicos divisores positivos são
e próprio.
Ou seja, não existe inteiro
com
tal que
.
Para mostrar que existem infinitos primos, usamos prova por contradição. Suponha, em contrário, que só existam finitamente muitos números primos. Seja a lista completa desses primos
Passo 3
Considere o inteiro
Note que
, então
tem pelo menos um divisor primo. Seja
um primo que divide
.
Agora, para cada
, temos
porque
divide o produto
. Logo, nenhum dos
divide
. Mas
divide
, então
não está na lista
. Isso contradiz a hipótese de que ali estavam todos os primos existentes.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição inicial (de que há apenas finitamente muitos primos) é falsa. Portanto, deve existir infinitamente muitos números primos.
Resposta
Existem infinitos números primos.