Defina número primo. Mostre que existem infinitos números primos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, dar a definição de “número primo” (tema: teoria de divisibilidade em inteiros) e segundo, provar que há infinitos números primos (usando prova por contradição). Vamos usar resultados básicos de divisibilidade e a ideia clássica de Euclides.

Passo 2

Definimos um número primo como segue. Um inteiro p é primo se, e somente se, satisfaz duas condições:
  1. p>1.
  2. Seus únicos divisores positivos são 1 e p próprio.
Ou seja, não existe inteiro d com 1<d<p tal que dmid p.
Para mostrar que existem infinitos primos, usamos prova por contradição. Suponha, em contrário, que só existam finitamente muitos números primos. Seja a lista completa desses primos
p1,,p2,,dots,,pn

Passo 3

Considere o inteiro
N = p1,p2,cdots,pn + 1
Note que N>1, então N tem pelo menos um divisor primo. Seja q um primo que divide N.
Agora, para cada i=1,2,dots,n, temos
N bmod pi = l(p1p2cdots pn+1r)bmod pi = 1,
porque pi divide o produto p1cdots pn. Logo, nenhum dos pi divide N. Mas q divide N, então q não está na lista p1,dots,pn. Isso contradiz a hipótese de que ali estavam todos os primos existentes.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição inicial (de que há apenas finitamente muitos primos) é falsa. Portanto, deve existir infinitamente muitos números primos.

Resposta

Existem infinitos números primos.

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