Defina indutivamente a sequência
Calcule os quatro primeiros termos da sequência
. Prove que:
(b) Para todo
.
(b) Para todo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir, passo a passo, uma sequência que começa com
e para cada próximo termo, usamos a fórmula
. A gente precisa calcular os quatro primeiros termos dessa sequência e provar a relação
. Para isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o segundo termo
. Segundo a definição da sequência:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o terceiro termo
:
Passo 4
Seguimos para o quarto termo
:
Passo 5
Agora, vamos provar que
para todo
.
Começamos elevando
ao quadrado:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Assim, mostramos que a relação é verdadeira para todo
.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são:
E provamos que para todo
, a relação
é válida.