Defina indutivamente a sequência
x1=raiz3 e xn+1=raiz3 xn, para todo n in N
Calcule os quatro primeiros termos da sequência (xn)n in N. Prove que:
(b) Para todo n in N, xn+1^2-xn^2=xn(3-xn).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir, passo a passo, uma sequência que começa com x1 = raiz3 e para cada próximo termo, usamos a fórmula xn+1 = raiz3 xn . A gente precisa calcular os quatro primeiros termos dessa sequência e provar a relação xn+1^2 - xn^2 = xn(3 - xn) . Para isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o segundo termo x2 . Segundo a definição da sequência:
x2 = raiz3 x1 = raiz3 cdot raiz3
Isso simplifica para:
x2 = 3^3/4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o terceiro termo x3 :
x3 = raiz3 x2 = raiz3 cdot 3^3/4 = raiz3^1 + 3/4 = raiz3^7/4 = 3^7/8

Passo 4

Seguimos para o quarto termo x4 :
x4 = raiz3 x3 = raiz3 cdot 3^7/8 = raiz3^1 + 7/8 = raiz3^15/8 = 3^15/16

Passo 5

Agora, vamos provar que xn+1^2 - xn^2 = xn(3 - xn) para todo n in N .
Começamos elevando xn+1 ao quadrado:
xn+1^2 = (raiz3 xn)^2 = 3 xn
Agora, subtraímos xn^2 de ambos os lados:
xn+1^2 - xn^2 = 3 xn - xn^2 = xn(3 - xn)
Assim, mostramos que a relação é verdadeira para todo n .

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são:
x1 = raiz3, x2 = 3^3/4, x3 = 3^7/8, x4 = 3^15/16
E provamos que para todo n in N , a relação xn+1^2 - xn^2 = xn(3 - xn) é válida.

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