Defina indutivamente a sequência
x1=raiz2 e xn+1=raiz2+xn, para todo n in N
Calcule os quatro primeiros termos da sequência (xn)n in N. Prove que:
(c) A sequência (xn)n in N é crescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que a sequência (xn)n in N, definida por x1 = raiz2 e xn+1 = raiz2 + xn, é crescente. Basicamente, queremos mostrar que cada termo da sequência é maior que o anterior. Para isso, vamos usar um método chamado prova por indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar propriedades que se aplicam a todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser crescente. Dizemos que uma sequência (xn) é crescente se, para todo n in N, vale que xn+1 > xn. Ou seja, cada novo termo é maior que o que veio antes.

Passo 3

Vamos começar verificando o primeiro passo da indução, que é o caso base. Precisamos mostrar que x2 > x1.
Sabemos que:
x1 = raiz2
x2 = raiz2 + x1 = raiz2 + raiz2
Vamos calcular aproximadamente:
x1 approx 1,4142
x2 approx raiz2 + 1,4142 approx raiz3,4142 approx 1,8478
Claro, 1,8478 > 1,4142, então x2 > x1. O caso base está validado!

Passo 4

Agora, assumimos que a propriedade é verdadeira para algum termo geral n. Isso é, hipótese de indução: vamos supor que xn > xn-1.
Com base nessa hipótese, queremos mostrar que xn+1 > xn.

Passo 5

Considerando a definição da sequência:
xn+1 = raiz2 + xn
xn = raiz2 + xn-1
Como xn > xn-1 (pela hipótese de indução), então 2 + xn > 2 + xn-1.
Sabemos que a função raiz é monotonicamente crescente no seu domínio, ou seja, se a > b, então raiza > raizb.
Aplicando isso, temos:
raiz2 + xn > raiz2 + xn-1
xn+1 > xn

Passo 6

Com isso, completamos a etapa de indução. Demonstramos que se xn > xn-1, então xn+1 > xn.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a sequência (xn)n in N é crescente, ou seja, xn+1 > xn para todo n in N.

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