Defina indutivamente a sequência
Calcule os quatro primeiros termos da sequência
. Prove que:
(c) A sequência
é crescente.
(c) A sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que a sequência
, definida por
e
, é crescente. Basicamente, queremos mostrar que cada termo da sequência é maior que o anterior. Para isso, vamos usar um método chamado prova por indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar propriedades que se aplicam a todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser crescente. Dizemos que uma sequência
é crescente se, para todo
, vale que
. Ou seja, cada novo termo é maior que o que veio antes.
Passo 3
Vamos começar verificando o primeiro passo da indução, que é o caso base. Precisamos mostrar que
.
Sabemos que:
Vamos calcular aproximadamente:
Claro,
, então
. O caso base está validado!
Passo 4
Agora, assumimos que a propriedade é verdadeira para algum termo geral
. Isso é, hipótese de indução: vamos supor que
.
Com base nessa hipótese, queremos mostrar que
.
Passo 5
Considerando a definição da sequência:
Como
(pela hipótese de indução), então
.
Sabemos que a função
é monotonicamente crescente no seu domínio, ou seja, se
, então
.
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Com isso, completamos a etapa de indução. Demonstramos que se
, então
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a sequência
é crescente, ou seja,
para todo
.