Resolva as equações lineares:
(1+e^x) d yd x+e^x y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial de primeira ordem linear homogênea
(1+e^x)dydx + e^xy = 0
O conteúdo é “EDO linear” e vamos usar o método do fator integrante para encontrar y(x).

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão dividindo ambos os lados por 1+e^x:
dydx + e^x1+e^x,y = 0
Aqui identificamos
P(x) = e^x1+e^x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral e^x1+e^x,dxr)
Fazendo u = 1+e^x temos du = e^xdx, logo
integral e^x1+e^x,dx = integral 1u,du = lnl|ur| = ln(1+e^x)
Portanto
mu(x) = e^ln(1+e^x) = 1+e^x

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x) obtém-se
(1+e^x)dydx + (1+e^x)e^x1+e^x,y = ddxl[(1+e^x)yr] = 0
Integrando em x vem
(1+e^x),y = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = C1+e^x

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