Defina indutivamente a sequência
pondo
Calcule os quatro primeiros termos da sequência
. Prove que:
(a) Para todo
.
(a) Para todo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que definir uma sequência de números usando uma regra específica e depois calcular os quatro primeiros termos dessa sequência. Depois, vamos provar que todos os termos dessa sequência são menores que 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências definidas por regra de recorrência e usar indução matemática para a prova.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o primeiro termo da sequência, que já foi dado:
Então, o primeiro termo é
, que aproximadamente é 1,414.
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo termo usando a regra dada:
Substituindo o valor de
:
Passo 4
Vamos para o terceiro termo:
Usando o valor aproximado de
:
Passo 5
Agora, o quarto termo:
Substituindo o valor de
:
Passo 6
Agora, vamos provar que para todo
, temos
. Vamos usar indução matemática para isso.
Base da indução: Para
,
Passo indutivo: Suponha que
para algum
. Queremos mostrar que
.
Usando a definição da sequência:
Como
, temos:
Portanto,
Assim, se
, então
.
Pela indução matemática, concluímos que para todo
,
.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente:
E para todo
,
.