Defina indutivamente a sequência (xn)n in N pondo
x1=raiz2 e xn+1=raiz2+xn, para todo n in N
Calcule os quatro primeiros termos da sequência (xn)n in N. Prove que:
(a) Para todo n in N, xn<2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que definir uma sequência de números usando uma regra específica e depois calcular os quatro primeiros termos dessa sequência. Depois, vamos provar que todos os termos dessa sequência são menores que 2. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências definidas por regra de recorrência e usar indução matemática para a prova.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o primeiro termo da sequência, que já foi dado:
x1 = raiz2
Então, o primeiro termo é raiz2, que aproximadamente é 1,414.

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo termo usando a regra dada:
x2 = raiz2 + x1 = raiz2 + raiz2
Substituindo o valor de x1:
x2 = raiz2 + 1,414 approx raiz3,414 approx 1,847

Passo 4

Vamos para o terceiro termo:
x3 = raiz2 + x2 = raiz2 + raiz2 + raiz2
Usando o valor aproximado de x2:
x3 = raiz2 + 1,847 approx raiz3,847 approx 1,961

Passo 5

Agora, o quarto termo:
x4 = raiz2 + x3 = raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2
Substituindo o valor de x3:
x4 = raiz2 + 1,961 approx raiz3,961 approx 1,990

Passo 6

Agora, vamos provar que para todo n in N, temos xn < 2. Vamos usar indução matemática para isso.
Base da indução: Para n = 1,
x1 = raiz2 approx 1,414 < 2
Passo indutivo: Suponha que xk < 2 para algum k in N. Queremos mostrar que xk+1 < 2.
Usando a definição da sequência:
xk+1 = raiz2 + xk
Como xk < 2, temos:
2 + xk < 2 + 2 = 4
Portanto,
xk+1 = raiz2 + xk < raiz4 = 2
Assim, se xk < 2, então xk+1 < 2.
Pela indução matemática, concluímos que para todo n in N, xn < 2.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente:
x1 approx 1,414 ; x2 approx 1,847 ; x3 approx 1,961 ; x4 approx 1,990
E para todo n in N, xn < 2.

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