Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 2^n^2n !

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série (\displaystyle
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2{n{2}}}{n!}) usando testes de convergência de séries, em particular o teste da razão ou da raiz. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos precisar aplicar o teste da razão, que compara com .

Passo 2

O teste da razão diz que, para a sequência de termos an>0, se
L = limntoinfty an+1an,
então
– se L<1, a série sum an converge absolutamente;
– se L>1, a série diverge;
– se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui temos an = 2^n^2n!. Vamos calcular
an+1an = 2^(n+1)^2(n+1)! cdot n!2^n^2 = 2^n^2 + 2n +12^n^2 cdot 1n+1 = 2^2n+1n+1

Passo 3

Agora observamos o comportamento para ntoinfty:
2^2n+1n+1 = 2cdot 4^nn+1 ;xrightarrow[ntoinfty]; infty,
ou seja, o limite L=infty>1. Pelo teste da razão, isso indica divergência da série.

Resposta

A série diverge (não converge nem absolutamente).

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