Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty 1+4^n1+3^n

Passo 1

Estamos com a série sumn=1^infty 1+4^n1+3^n. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries de termos positivos, mais especificamente o teste da raiz (ou razão) para determinar se a série converge absolutamente ou diverge.

Passo 2

Definimos o termo geral an = 1+4^n1+3^n. Observe que an>0 para todo n, então podemos aplicar tranquilamente o teste da raiz.

Passo 3

O teste da raiz diz que, se L = limntoinfty raiz[n]an, então a série converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1.

Passo 4

Vamos calcular raiz[n]an. Temos:
raiz[n]an = raiz[n]1+4^n1+3^n = raiz[n]1+4^nraiz[n]1+3^n
Para n grande, o termo dominante em cima é 4^n e embaixo é 3^n, logo
limntoinfty raiz[n]1+4^n = 4, limntoinfty raiz[n]1+3^n = 3

Passo 5

Portanto o limite do teste da raiz é
L = limntoinfty raiz[n]an = 43
Como L=4/3>1, o teste da raiz nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

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