Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty n !n^n

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série sumn=1^inftyn!n^n. O conteúdo é teste da razão ou da raiz para verificar convergência absoluta, e vamos precisar conhecer o critério do teste da razão.

Passo 2

Descrição do teste da razão: dado an, define-se L=limntoinftyl|an+1/anr|. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Cálculo da razão entre termos consecutivos: definindo an=n!n^n, temos
an+1an =(n+1)!/(n+1)^n+1n!/n^n =(n+1),n^n(n+1)^n+1 =l(nn+1r)^n

Passo 4

Cálculo do limite da razão:
limntoinftyl(nn+1r)^n =limntoinftyl(1-1n+1r)^n = e^-1approx0,3679
Como e^-1<1, o teste da razão garante convergência absoluta.

Passo 5

Conclusão: pelo teste da razão com limite L=e^-1<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, pois o limite da razão entre termos consecutivos é e^-1<1.

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