Defina indutivamente a sequência (xn)n in N pondo
x1=2 e xn+1=xn^2+22 xn, para todo n in N
Calcule os quatro primeiros termos da sequência (xn)n in N. Prove que:
(a) Para todo n in N, xn>raiz2.
(b) A sequência (xn)n in N é decrescente.
(c) A sequência (xn)n in N é convergente e lim n infty xn=raiz2.

Passo 1

Então, o exercício define indutivamente a sequência x1=2 e xn+1=dfracxn^2+22xn. O conteúdo aqui é teoria de sequências: cálculo de termos, prova por indução, monotonia e convergência. Vamos precisar usar a definição recursiva pra achar os primeiros termos, o princípio de indução para (a), manipular desigualdades pra (b) e o teorema da convergência de sequência monótona e limitada pra (c).

Passo 2

Agora é só aplicar a definição pra calcular os quatro primeiros termos. Primeiro, x1=2. Depois:
x2=2^2+22cdot2=64=32
Em seguida:
x3=(32)^2+22cdot32=94+23=9+843=17/43=1712
Por fim:
x4=(1712)^2+22cdot1712 =289144+2881443412 =577/14434/12 =577144cdot1234 =577408

Passo 3

Vamos provar (a) que xn>raiz2 por indução.
Base: x1=2>raiz2.
Indução: suponha xn>raiz2. Aí
xn+1=xn^2+22xn>raiz2iff xn^2+2>2raiz2,xniff(xn-raiz2)^2>0,
que é sempre verdade quando xn>raiz2. Logo, vale pra todo n.

Passo 4

Agora (b): mostrar que a sequência é decrescente, ou seja xn+1<xn. Calcule a diferença:
xn+1-xn=xn^2+22xn-xn=xn^2+2-2xn^22xn=2-xn^22xn
Como pela parte (a) temos xn>raiz2Rightarrow xn^2>2, o numerador 2-xn^2<0 e o denominador 2xn>0. Logo a diferença é negativa, ou seja, xn+1<xn.

Passo 5

Por fim, (c): já vimos que (xn) é decrescente e, pela parte (a), fica sempre acima de raiz2. Então é monótona decrescente e limitada, logo converge. Seja L=limntoinftyxn. Passando no limite na relação recursiva:
L=L^2+22Limplies2L^2=L^2+2implies L^2=2implies L=raiz2 (como L>0)

Resposta

Os quatro primeiros termos são
x₁=2,
x₂=3/2,
x₃=17/12,
x₄=577/408.
Além disso, para todo n tem xₙ>√2; a sequência é decrescente; e converge para √2.

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