Defina indutivamente a sequência
pondo
Calcule os quatro primeiros termos da sequência
. Prove que:
(a) Para todo
.
(b) A sequência
é decrescente.
(c) A sequência
é convergente e
.
(a) Para todo
(b) A sequência
(c) A sequência
Passo 1
Então, o exercício define indutivamente a sequência
e
. O conteúdo aqui é teoria de sequências: cálculo de termos, prova por indução, monotonia e convergência. Vamos precisar usar a definição recursiva pra achar os primeiros termos, o princípio de indução para (a), manipular desigualdades pra (b) e o teorema da convergência de sequência monótona e limitada pra (c).
Passo 2
Agora é só aplicar a definição pra calcular os quatro primeiros termos. Primeiro,
. Depois:
Em seguida:
Por fim:
Passo 3
Vamos provar (a) que
por indução.
Base: .
Indução: suponha . Aí
Base:
Indução: suponha
que é sempre verdade quando
. Logo, vale pra todo
.
Passo 4
Agora (b): mostrar que a sequência é decrescente, ou seja
. Calcule a diferença:
Como pela parte (a) temos
, o numerador
e o denominador
. Logo a diferença é negativa, ou seja,
.
Passo 5
Por fim, (c): já vimos que
é decrescente e, pela parte (a), fica sempre acima de
. Então é monótona decrescente e limitada, logo converge. Seja
. Passando no limite na relação recursiva:
Resposta
Os quatro primeiros termos são
x₁=2,
x₂=3/2,
x₃=17/12,
x₄=577/408.
x₂=3/2,
x₃=17/12,
x₄=577/408.
Além disso, para todo n tem xₙ>√2; a sequência é decrescente; e converge para √2.