Se log b a=log a b, que tipo de relação existe entre a e b ?

Passo 1

O enunciado diz que
logba = logab
com as condições usuais de logaritmo: a>0, aneq1, b>0 e bneq1.
O objetivo é achar uma relação algébrica entre a e b. Vamos usar a fórmula de mudança de base.

Passo 2

Pela mudança de base temos
logab = 1logba
Então a equação fica
logba = 1logba
Seja t = logba. Substituindo, obtemos
t = 1t

Passo 3

Resolva t = 1/t. Multiplicando ambos os lados por t
t^2 = 1,
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t = pm 1

Passo 4

Caso t=1:
logba = 1 Longrightarrow a = b
Caso t=-1:
logba = -1 Longrightarrow a = b^-1 Longrightarrow a,b = 1

Passo 5

Concluímos que as únicas possibilidades são
a = b ou a,b = 1

Resposta

a = b ou a,b = 1.

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