Determine o comprimento das curvas a seguir
r(t)=2(t^2-1)^3 / 2 i+3 t^2 j+3 t^2 k, 0 <= t <= raiz8

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
r(t)=2l(t^2-1r)^3/2,i+3t^2,j+3t^2,k
e pede o comprimento dela de t=0 até t=raiz8. O conteúdo é comprimento de arco de curva em R^3, cuja fórmula é
L=integrala^b|vec r,'(t)|,dt
Vamos precisar calcular vec r,'(t), sua norma e depois integrar.

Passo 2

Derivamos componente a componente:
  • x(t)=2l(t^2-1r)^3/2 Rightarrow
x'(t)=2cdot32l(t^2-1r)^1/2cdot2t =6traizt^2-1
  • y(t)=3t^2 Rightarrow y'(t)=6t.
  • z(t)=3t^2 Rightarrow z'(t)=6t.
    Logo
vec r,'(t)=llang<= 6traizt^2-1,,6t,,6trrang<=

Passo 3

Calculamos a norma de vec r,'(t):
|vec r,'(t)| =raizl(6traizt^2-1r)^2+(6t)^2+(6t)^2 =raiz36t^2(t^2-1)+36t^2+36t^2 =6traizt^2+1

Passo 4

O comprimento é
L=integrala^b6traizt^2+1,dt
Para ter raizt^2-1 real precisamos de t>=1, então usamos a=1 e b=raiz8. Fazemos a substituição u=t^2+1, logo du=2t,dt, t,dt=du/2:
integral6traizt^2+1,dt =6integralraizu,du2 =3integral u^1/2,du =2u^3/2+C =2l(t^2+1r)^3/2+C

Passo 5

Avaliando de t=1 até t=raiz8:
L =2l(t^2+1r)^3/2|1^raiz8 =2l((8+1)^3/2-(1+1)^3/2r) =2l(9^3/2-2^3/2r) =2l(27-2raiz2r) =54-4raiz2

Resposta

O comprimento da curva é L=54-4raiz2.

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