Encontre para cada uma das curvas o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura. r(t)=(t^2+4) i+2 t j Passo 1O enunciado nos dá uma curva paramétrica vec r(t) = l(t^2+4r),vec i ;+;2t,vec j e pede o vetor tangente unitário vec T(t), o vetor normal unitário vec N(t) e a curvatura kappa(t). Para resolver, vamos usar derivadas de vec r(t): vec r'(t) e vec r''(t) vec T(t)=vec r'(t)/|vec r'(t)| kappa(t)=|vec r'timesvec r''|/|vec r'|^3 (ou fórmula planar equivalente) vec N(t)=vec T'(t)/|vec T'(t)|. Passo 2Calculamos as derivadas e o módulo da velocidade: vec r'(t) = ddtl((t^2+4),vec i + 2t,vec jr) = 2t,vec i + 2,vec j, vec r''(t) = ddtl(2t,vec i + 2,vec jr) = 2,vec i, |vec r'(t)| = raiz(2t)^2 + 2^2 = 2,raizt^2+1 Passo 3O vetor tangente unitário é vec T(t) = vec r'(t)|vec r'(t)| = 2t,vec i + 2,vec j2raizt^2+1 = t,vec i + vec jraizt^2+1 Passo 4Usando a fórmula planar kappa(t) = l|x'(t),y''(t) - y'(t),x''(t)r|l(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2, com x'(t)=2t, y'(t)=2, x''(t)=2, y''(t)=0, vem kappa(t) = l|2tcdot0 - 2cdot2r|l(4t^2+4r)^3/2 = 4l(4(t^2+1)r)^3/2 = 12,(t^2+1)^3/2 Passo 5Para o vetor normal unitário, derivamos vec T(t) e normalizamos: dvec Tdt = ddtl(traizt^2+1,vec i + 1raizt^2+1,vec jr) = 1(t^2+1)^3/2,vec i ;-; t(t^2+1)^3/2,vec j, l|dvec Tdtr| = raiz1+t^2(t^2+1)^3/2 = 1t^2+1 Logo vec N(t) = vec T'(t)|vec T'(t)| = (t^2+1)l(1(t^2+1)^3/2,vec i - t(t^2+1)^3/2,vec jr) = vec i - t,vec jraizt^2+1 Resposta vec T(t)=t,vec i + vec jraizt^2+1, vec N(t)=vec i - t,vec jraizt^2+1, kappa(t)=12,(t^2+1)^3/2 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCom ajuda de uma calculadora da relação log a x=log b xlog b a, construa uma tabela de logaritmos para os primeiros dez inteiros, nas seguintes bases: 2 Defina indutivamente a sequência (xn)n in N pondo x1=2 e xn+1=xn^2+22 xn, para todo n in N Calcule os quatro primeiros termos da sequência (xn)n in N. Prove que: (a) Para todo n in N, xn>raiz2. (b) A sequência (xn)n in N é decrescente. (c) A sequência (xn)n in N é convergente e lim n infty xn=raiz2. 19^circ ) Questão. Determine uma série geométrica infinita cuja soma é 6 e tal que cada termo seja 4 vezes a soma de todos os termos que o sucedem. 20^circ ) Questão. Encontre uma série geométrica sumn=1^infty a r^n-1, que conver>= para 5, quando a=2