Encontre para cada uma das curvas o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura.
r(t)=(t^2+4) i+2 t j

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica
vec r(t) = l(t^2+4r),vec i ;+;2t,vec j
e pede o vetor tangente unitário vec T(t), o vetor normal unitário vec N(t) e a curvatura kappa(t).
Para resolver, vamos usar derivadas de vec r(t):
  • vec r'(t) e vec r''(t)
  • vec T(t)=vec r'(t)/|vec r'(t)|
  • kappa(t)=|vec r'timesvec r''|/|vec r'|^3 (ou fórmula planar equivalente)
  • vec N(t)=vec T'(t)/|vec T'(t)|.

Passo 2

Calculamos as derivadas e o módulo da velocidade:
vec r'(t) = ddtl((t^2+4),vec i + 2t,vec jr) = 2t,vec i + 2,vec j,
vec r''(t) = ddtl(2t,vec i + 2,vec jr) = 2,vec i,
|vec r'(t)| = raiz(2t)^2 + 2^2 = 2,raizt^2+1

Passo 3

O vetor tangente unitário é
vec T(t) = vec r'(t)|vec r'(t)| = 2t,vec i + 2,vec j2raizt^2+1 = t,vec i + vec jraizt^2+1

Passo 4

Usando a fórmula planar
kappa(t) = l|x'(t),y''(t) - y'(t),x''(t)r|l(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2,
com x'(t)=2t, y'(t)=2, x''(t)=2, y''(t)=0, vem
kappa(t) = l|2tcdot0 - 2cdot2r|l(4t^2+4r)^3/2 = 4l(4(t^2+1)r)^3/2 = 12,(t^2+1)^3/2

Passo 5

Para o vetor normal unitário, derivamos vec T(t) e normalizamos:
dvec Tdt = ddtl(traizt^2+1,vec i + 1raizt^2+1,vec jr) = 1(t^2+1)^3/2,vec i ;-; t(t^2+1)^3/2,vec j,
l|dvec Tdtr| = raiz1+t^2(t^2+1)^3/2 = 1t^2+1
Logo
vec N(t) = vec T'(t)|vec T'(t)| = (t^2+1)l(1(t^2+1)^3/2,vec i - t(t^2+1)^3/2,vec jr) = vec i - t,vec jraizt^2+1

Resposta

vec T(t)=t,vec i + vec jraizt^2+1,
vec N(t)=vec i - t,vec jraizt^2+1,
kappa(t)=12,(t^2+1)^3/2

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