Defina indutivamente a sequência (xn)n in N pondo
x1=raiz3 e xn+1=raiz3 xn, para todo n in N
Calcule os quatro primeiros termos da sequência (xn)n in N. Prove que:
(a) Para todo n in N, xn<3.
(b) Para todo n in N, xn+1^2-xn^2=xn(3-xn).
(c) A sequência (xn)n in N é crescente.
(d) A sequência (xn)n in N é convergente e lim n infty xn=3.

Passo 1

O enunciado define a sequência xn por indução: temos x1=raiz3 e xn+1=raiz3xn. O conteúdo da matéria é sequência real definida por fórmula recursiva, e para resolver vamos precisar de cálculo de raízes, indução, análise de monotonicidade, limite e propriedades de sequências limitadas.

Passo 2

Calculamos os quatro primeiros termos usando a definição:

Passo 3

x1=raiz3,

Passo 4

x2=raiz3raiz3=3^3/4,

Passo 5

x3=raiz3cdot3^3/4=3^7/8,

Passo 6

x4=raiz3cdot3^7/8=3^15/16.

Passo 7

Para (a), queremos mostrar por indução que xn<3 para todo n. Base: x1=raiz3<3. Passo indutivo: supondo xn<3, então

Passo 8

xn+1=raiz3xn<raiz3cdot3=3

Passo 9

Para (b), basta usar a definição de xn+1:

Passo 10

xn+1^2-xn^2=(3xn)-xn^2=xn(3-xn)

Passo 11

Para (c), como xn>0 e por (a) 3-xn>0, do item (b) vem xn+1^2-xn^2>0, logo xn+1>xn e a sequência é crescente.

Passo 12

Para (d), notamos que (xn) é crescente e limitada superiormente por 3, então converge. Seja L=limntoinftyxn. Passando ao limite na relação xn+1=raiz3xn

Passo 13

L=raiz3Limplies L^2=3Limplies L( L-3)=0

Passo 14

Como xn>0, temos L=3.

Resposta

Os quatro primeiros termos são x1=raiz3, x2=3^3/4, x3=3^7/8, x4=3^15/16. Além disso, provamos que para todo n, xn<3, que xn+1^2-xn^2=xn(3-xn), que a sequência é crescente e que ela converge com limntoinftyxn=3.

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