Defina indutivamente a sequência
pondo
Calcule os quatro primeiros termos da sequência
. Prove que:
(a) Para todo
.
(b) Para todo
.
(c) A sequência
é crescente.
(d) A sequência
é convergente e
.
(a) Para todo
(b) Para todo
(c) A sequência
(d) A sequência
Passo 1
O enunciado define a sequência
por indução: temos
e
. O conteúdo da matéria é sequência real definida por fórmula recursiva, e para resolver vamos precisar de cálculo de raízes, indução, análise de monotonicidade, limite e propriedades de sequências limitadas.
Passo 2
Calculamos os quatro primeiros termos usando a definição:
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Para (a), queremos mostrar por indução que
para todo
. Base:
. Passo indutivo: supondo
, então
Passo 8
Passo 9
Para (b), basta usar a definição de
:
Passo 10
Passo 11
Para (c), como
e por (a)
, do item (b) vem
, logo
e a sequência é crescente.
Passo 12
Para (d), notamos que
é crescente e limitada superiormente por 3, então converge. Seja
. Passando ao limite na relação
dá
Passo 13
Passo 14
Como
, temos
.
Resposta
Os quatro primeiros termos são
. Além disso, provamos que para todo
,
, que
, que a sequência é crescente e que ela converge com
.