Encontre para cada uma das curvas o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura.
r(t)=cos t i+cos t j+raiz2 sin t k

Passo 1

Estamos lidando com uma curva espacial
vec r(t)=cos t,vec i+cos t,vec j+raiz2,sin t,vec k
e queremos encontrar
  1. o vetor tangente (unitário) vec T(t),
  2. o vetor normal principal (unitário) vec N(t),
  3. a curvatura kappa(t).
    Para isso vamos precisar de derivadas de vec r, normais e normalização.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e a sua norma.
vec r,'(t) =ddtllang<=cos t,cos t,raiz2sin trrang<= =llang<= -sin t,,-sin t,,raiz2cos trrang<=
A norma é
l|vec r,'(t)r| =raiz(-sin t)^2+(-sin t)^2+(raiz2cos t)^2 =raiz2sin^2t+2cos^2t =raiz2

Passo 3

O vetor tangente unitário é
vec T(t) =vec r,'(t)|vec r,'(t)| =1raiz2llang<= -sin t,,-sin t,,raiz2cos trrang<= =llang<= -tfracsin traiz2,,-tfracsin traiz2,,cos trrang<=

Passo 4

Agora derivamos vec T(t) e obtemos a curvatura pela fórmula
kappa(t)=|vec T,'(t)||vec r,'(t)|
Primeiro
vec T,'(t) =ddtllang<= -tfracsin traiz2,,-tfracsin traiz2,,cos trrang<= =llang<= -tfraccos traiz2,,-tfraccos traiz2,,-sin trrang<=
E sua norma é
|vec T,'(t)| =raiztfraccos^2t2+tfraccos^2t2+sin^2t =raizcos^2t+sin^2t =1
Logo
kappa(t) =1|vec r,'(t)| =1raiz2

Passo 5

O vetor normal principal unitário é
vec N(t) =vec T,'(t)|vec T,'(t)| =llang<= -tfraccos traiz2,,-tfraccos traiz2,,-sin trrang<=

Resposta

vec T(t)=llang<= -tfracsin traiz2,,-tfracsin traiz2,,cos trrang<=
vec N(t)=llang<= -tfraccos traiz2,,-tfraccos traiz2,,-sin trrang<=
kappa(t)=1raiz2

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