Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
integral duplaD sen^2 x d A, D é limitada por y=cos x, 0 <= x <= pi / 2, y=0, x=0

Passo 1

Temos a integral dupla de sin^2 x sobre o domínio D limitado por y=cos x, y=0, x=0 e x=pi/2. O conteúdo principal aqui é aplicação do Teorema de Fubini para escrever integrais iteradas e escolher a ordem de integração mais fácil.

Passo 2

Escrevendo as duas ordens possíveis de integração, temos:
integralx=0^pi/2integraly=0^cos xsin^2 x,dy,dx
e também
integraly=0^1integralx=0^arccos ysin^2 x,dx,dy

Passo 3

A ordem mais fácil é integrar primeiro em y, porque sin^2 x não depende de y. Fazendo a integral interna em y:
integraly=0^cos xsin^2 x,dy = sin^2 x l[yr]0^cos x = sin^2 x,cos x
Portanto a integral fica
I = integral0^pi/2sin^2 x,cos x,dx
Para resolver usamos a substituição u=sin x, du=cos x,dx, com u(0)=0 e u(pi/2)=1.

Passo 4

Em u-variável a integral vira
integral0^1u^2,du = l[tfracu^33r]0^1 = tfrac13
Logo o valor da integral dupla é 1/3.

Passo 5

A ordem dy,dx foi mais fácil porque permitiu extrair sin^2 x da integral interna e usar diretamente uma substituição simples.

Resposta

tfrac13

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