Utilize coordenadas cilíndricas
integralegral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2,dV, onde B é a bola de raio 5 centrada na origem, usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar lembrar que em coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x^2+y^2=r^2, logo o integrando fica (r^2+z^2)^2 e o volume é r,dr,dtheta,dz. A bola B impõe r^2+z^2<=25, r>=0, thetain[0,2pi], zin[-5,5]. Assim montamos
integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2,dV = integraltheta=0^2piintegralz=-5^5integralr=0^raiz25-z^2(r^2+z^2)^2,r,dr,dz,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em theta (é trivial, fator 2pi) e em r. Para r use a substituição u=r^2+z^2, du=2r,dr. Quando r=0, u=z^2; quando r=raiz25-z^2, u=25. Obtém-se
integraltheta=0^2pidthetaintegralz=-5^5l[tfrac12integralu=z^2^25u^2,dur]dz = 2piintegral-5^516l(25^3 - z^6r)dz = pi3integral-5^5l(25^3 - z^6r)dz

Passo 4

O integrando em z é função par, então
integral-5^5(25^3 - z^6),dz = 2integral0^5(25^3 - z^6),dz = 2l(25^3cdot5 - 5^77r)

Passo 5

Portanto a integral total fica
pi3cdot 2l(25^3cdot5 - 5^77r)

Resposta

\displaystyle \frac{312500\pi}{7}

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