Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
é limitada por
Passo 1
Nesse exercício, temos a integral dupla de f(x,y)=6x^2 sobre a região D delimitada pelas curvas y=x^3, y=2x+4 e a reta x=0. O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas: vamos desenhar a região, escrever as integrais iteradas em ambas as ordens e depois calcular usando a ordem mais conveniente.
Passo 2
Para achar o intervalo de x, igualamos as curvas y=x^3 e y=2x+4. Resolvendo x^3=2x+4 temos x^3−2x−4=0, cujo único raiz real positiva é x=2. Como x=0 também faz parte da fronteira, concluímos que 0≤x≤2.
Passo 3
Na ordem dy
dx, x varia de 0 a 2 e, para cada x, y vai da curva inferior y=x^3 até a curva superior y=2x+4. Assim, a integral iterada fica
dx, x varia de 0 a 2 e, para cada x, y vai da curva inferior y=x^3 até a curva superior y=2x+4. Assim, a integral iterada fica
Passo 4
Na ordem dx
dy, teríamos que expressar os limites de x em função de y. Isso exige dividir em dois trechos: para 0≤y≤4, o limite inferior de x é 0 e o superior é x=y^{1/3}; para 4≤y≤8, o limite inferior é x=(y-4)/2 e o superior é x=y^{1/3}. Fica um somatório de duas integrais, mais trabalhoso.
dy, teríamos que expressar os limites de x em função de y. Isso exige dividir em dois trechos: para 0≤y≤4, o limite inferior de x é 0 e o superior é x=y^{1/3}; para 4≤y≤8, o limite inferior é x=(y-4)/2 e o superior é x=y^{1/3}. Fica um somatório de duas integrais, mais trabalhoso.
Passo 5
Escolhendo a ordem dy
dx, calculamos primeiro em y. A integral interna é
dx, calculamos primeiro em y. A integral interna é
Agora integramos em x de 0 a 2:
Passo 6
Essa ordem é mais fácil porque a função 6x^2 independe de y, de modo que a integração interna em y só multiplica por (2x+4−x^3). Se integrássemos em x primeiro, precisaríamos separar a região em dois pedaços e resolver limites que dependem de y, tornando tudo mais longo.
Resposta
48