A posição de uma partícula 'e dada pela equação x(t)=4-12 t+3 t^3(com x em metros e t em segundos).
a) Determine o instante(s) que a partícula passa pela origem.
b) Obtenha as expressões para a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
c) Qual a posição, velocidade e aceleração da partícula para t=3 s ?
d) Existe algum instante onde a velocidade da partícula se anula? Se existe, determine este instante.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula
x(t)=4 -12,t +3,t^3,
com x em metros e t em segundos. Pede-se:
a) instantes em que x(t)=0;
b) expressão de velocidade e aceleração;
c) x, v e a em t=3 s;
d) instante(s) em que v(t)=0.

Passo 2

Para a) igualamos a zero:
x(t)=0;Longrightarrow;3,t^3 -12,t +4=0
Este é um cúbico depressado t^3 -4t +tfrac43=0. Usando a fórmula trigonométrica das três raízes reais, obtemos
tk = 4raiz3cos!l(tfrac13arccosl(-tfracraiz34r)-tfrac2pi k3r), k=0,1,2
Numericamente isso dá
t0approx 0,348 s, t1approx 1,809 s, t2approx -2,157 s
Para t>=0, a partícula passa pela origem em
tapprox0,348 se tapprox1,809 s

Passo 3

Para b) calculamos
v(t)=dxdt=-12+9,t^2,
a(t)=dvdt=18,t

Passo 4

Para c) em t=3 s:
x(3)=4 -12cdot3+3cdot3^3=4-36+81=49 m,
v(3)=-12+9cdot3^2=-12+81=69 m/s,
a(3)=18cdot3=54 m/s^2

Passo 5

Para d) anulamos v(t):
-12+9,t^2=0Longrightarrow t^2=tfrac43 Longrightarrow t=pm2raiz3approxpm1,155 s
Para t>=0, o único instante é
t=2raiz3approx1,155 s

Resposta

a) tapprox0,348 s e tapprox1,809 s.
b) v(t)=-12+9t^2, ,a(t)=18t.
c) x(3)=49 m, v(3)=69 m/s, a(3)=54 m/s ^2.
d) t=pm2/raiz3approxpm1,155 s (para t>=0, t=2/raiz3).

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