Escolha três números inteiros e desenhe as curvas de nível das funções abaixo:
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Passo 1
Vamos resolver o exercício de curvas de nível da função $ f(x, y) = xy $. Para isso, vamos escolher três números inteiros que servirão como níveis e aprender como desenhar as curvas correspondentes. Precisamos entender o que são curvas de nível e como representá-las no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher três números inteiros para os níveis. Vou selecionar: -2, 0 e 2. Esses valores vão nos ajudar a visualizar diferentes comportamentos da função.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para a função $ f(x, y) = c $ é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação $ xy = c $. Isso significa que para cada valor de $ c $, teremos uma curva específica no plano xy.
Passo 4
Vamos começar com o nível $ c = -2 $. A equação fica:
Para desenhar essa curva, podemos isolar $ y $:
Esta é a equação de uma hiperbola, onde os valores de $ x $ e $ y $ têm sinais opostos. Isso significa que a curva estará localizada nos quadrantes onde $ x $ e $ y $ são positivos e negativos.
Passo 5
Agora, consideremos o nível $ c = 0 $. A equação é:
Isso significa que ou $ x = 0 $ ou $ y = 0 $. Portanto, as curvas de nível para $ c = 0 $ são os eixos $ x $ e $ y $ no plano cartesiano. Eles representam as linhas onde a função $ f(x, y) $ é igual a zero.
Passo 6
Finalmente, vamos para o nível $ c = 2 $. A equação é:
Isolando $ y $:
Isso também representa uma hiperbola, mas desta vez os valores de $ x $ e $ y $ têm o mesmo sinal. Assim, a curva estará nos quadrantes onde ambos são positivos ou ambos são negativos.
Resposta
As curvas de nível da função $ f(x, y) = xy $ para os níveis escolhidos são:
- Para $ c = -2 $: Uma hiperbola definida por $ y = \frac{-2}{x} $, localizada nos quadrantes onde $ x $ e $ y $ têm sinais opostos.
- Para $ c = 0 $: Os eixos $ x $ e $ y $, representando onde a função é igual a zero.
- Para $ c = 2 $: Uma hiperbola definida por $ y = \frac{2}{x} $, localizada nos quadrantes onde $ x $ e $ y $ têm o mesmo sinal.
Essas curvas ajudam a visualizar como a função $ f(x, y) = xy $ se comporta em diferentes níveis no plano cartesiano.