(a) Defina a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva suave
dada pela função vetorial
.
(b) Se
é um campo de força, o que essa integral de linha representa?
(c)
, qual é a relação entre a integral de linha de
e as integrais de linha das componentes
e
?
(b) Se
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva suave
dada por
,
:
– (a) a definição geral dessa integral;
– (b) o significado físico quando é um campo de força;
– (c) como a integral de linha de se relaciona com as integrais de linha das componentes
,
e
.
– (a) a definição geral dessa integral;
– (b) o significado físico quando
– (c) como a integral de linha de
Para resolver, vamos usar a parametrização da curva, o produto escalar e a interpretação de trabalho em física.
Passo 2
Definimos a integral de linha de
ao longo de
por
Aqui fazemos a substituição
e calculamos o produto escalar entre o vetor campo e a derivada da parametrização.
Passo 3
Se
é um campo de força, essa integral mede o trabalho realizado por
quando um objeto se move ao longo da trajetória
. Em outras palavras, é a energia transferida pela força enquanto o ponto percorre a curva.
Passo 4
Se escrevemos
e
, então
e por consequência
Resposta
(a)
(b) Representa o trabalho realizado pelo campo de força ao deslocar um objeto ao longo de
.
(c)
(b) Representa o trabalho realizado pelo campo de força
(c)