(a) Defina a integral de linha do campo vetorial \mathbf{F} ao longo da curva suave C dada pela função vetorial \mathbf{r}(t).
(b) Se \mathbf{F} é um campo de força, o que essa integral de linha representa?
(c) \operatorname{Se} \mathbf{F}=\langle P, Q, R\rangle, qual é a relação entre a integral de linha de \mathbf{F} e as integrais de linha das componentes P, Q e R ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F} ao longo de uma curva suave C dada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b:
– (a) a definição geral dessa integral;
– (b) o significado físico quando \mathbf{F} é um campo de força;
– (c) como a integral de linha de \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle se relaciona com as integrais de linha das componentes P, Q e R.
Para resolver, vamos usar a parametrização da curva, o produto escalar e a interpretação de trabalho em física.

Passo 2

Definimos a integral de linha de \mathbf{F} ao longo de C por
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui fazemos a substituição \mathbf{r}=\mathbf{r}(t) e calculamos o produto escalar entre o vetor campo e a derivada da parametrização.

Passo 3

Se \mathbf{F} é um campo de força, essa integral mede o trabalho realizado por \mathbf{F} quando um objeto se move ao longo da trajetória C. Em outras palavras, é a energia transferida pela força enquanto o ponto percorre a curva.

Passo 4

Se escrevemos \mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle e \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) = P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t),
e por consequência
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{a}^{b}\bigl(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\bigr)\,dt =\int_{C}P\,dx+\int_{C}Q\,dy+\int_{C}R\,dz.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
(b) Representa o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F} ao deslocar um objeto ao longo de C.
(c) \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{C}P\,dx + \int_{C}Q\,dy + \int_{C}R\,dz.

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