(a) O que significa dizer que
é independente do caminho?
(b) Se você souber que
é independente do caminho, o que poderá dizer sobre
?
(b) Se você souber que
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a integral de linha de um campo vetorial
,
e nos pede: (a) o que significa dizer que essa integral é independente do caminho; (b) que propriedade do campo
podemos inferir se soubermos dessa independência. O conteúdo é cálculo vetorial, mais especificamente campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Dizer que a integral de linha
é independente do caminho significa que, dados dois pontos fixos
e
no domínio de
, o valor de
é o mesmo para qualquer curva
e
que vão de
até
. Em outras palavras, a integral depende somente dos pontos inicial e final, não do formato do caminho.
Passo 3
Se sabemos que
é independente do caminho, então
é um campo conservativo. Isso implica que existe uma função escalar (potencial)
tal que
Além disso, em um domínio simplesmente conectado, isso equivale a dizer que
Resposta
(a) Significa que a integral de linha de
entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
(b) Que é um campo conservativo, isto é,
para alguma função potencial
(ou, em domínio simplesmente conectado,
).
(b) Que