(a) O que significa dizer que \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} é independente do caminho?
(b) Se você souber que \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} é independente do caminho, o que poderá dizer sobre \mathbf{F} ?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a integral de linha de um campo vetorial \mathbf{F},
\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
e nos pede: (a) o que significa dizer que essa integral é independente do caminho; (b) que propriedade do campo \mathbf{F} podemos inferir se soubermos dessa independência. O conteúdo é cálculo vetorial, mais especificamente campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Dizer que a integral de linha \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é independente do caminho significa que, dados dois pontos fixos A e B no domínio de \mathbf{F}, o valor de
\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \quad\text{e}\quad \int_{C_{2}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
é o mesmo para qualquer curva C_{1} e C_{2} que vão de A até B. Em outras palavras, a integral depende somente dos pontos inicial e final, não do formato do caminho.

Passo 3

Se sabemos que \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} é independente do caminho, então \mathbf{F} é um campo conservativo. Isso implica que existe uma função escalar (potencial) \varphi tal que
\mathbf{F} = \nabla \varphi.
Além disso, em um domínio simplesmente conectado, isso equivale a dizer que
\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}.

Resposta

(a) Significa que a integral de linha de \mathbf{F} entre dois pontos depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
(b) Que \mathbf{F} é um campo conservativo, isto é, \mathbf{F}=\nabla\varphi para alguma função potencial \varphi (ou, em domínio simplesmente conectado, \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}).

Exercícios relacionados