Se \mathbf{F} for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de rot \mathbf{F} e de div \mathbf{F} ?
10. Se \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}, como é que você testa para determinar se \mathbf{F} é conservativo? E se \mathbf{F} for um campo vetorial em \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado pergunta, para um campo de velocidade \mathbf{F} num fluido, qual o significado físico de \mathrm{rot}\,\mathbf{F} e de \mathrm{div}\,\mathbf{F}; depois, para \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} em \mathbb{R}^2, como testar se é conservativo; e finalmente qual o teste em \mathbb{R}^3. O conteúdo envolve cálculo vetorial: divergente, rotacional e campos conservativos.

Passo 2

A interpretação física de \mathrm{div}\,\mathbf{F} (divergência) é a taxa de variação volumétrica do fluido num ponto, ou seja, mede se nesse ponto há “fontes” ( \mathrm{div}>0) ou “sumidouros” ( \mathrm{div}<0) de massa. Já \mathrm{rot}\,\mathbf{F} (ou vorticidade) mede a rotação local do fluido: um fluido com \mathrm{rot}\neq 0 gira em torno desse ponto, enquanto \mathrm{rot}=0 indica escoamento irrotacional.

Passo 3

No plano, para \mathbf{F}=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j} num domínio simplesmente conectado, \mathbf{F} é conservativo se existir potencial f tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
O teste prático é verificar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 4

Em \mathbb{R}^3, para \mathbf{F}=(P,Q,R) num domínio simplesmente conectado, \mathbf{F} é conservativo se e somente se o rotacional for zero, isto é,
\mathrm{rot}\,\mathbf{F} \;=\;\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\,\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =\mathbf{0}.

Resposta

A divergência \mathrm{div}\,\mathbf{F} mede a taxa de expansão (fontes ou sumidouros) do fluido e o rotacional \mathrm{rot}\,\mathbf{F} mede a rotação local (vorticidade).
Em \mathbb{R}^2, \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} é conservativo se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
Em \mathbb{R}^3, \mathbf{F} é conservativo se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} (num domínio simplesmente conectado).

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