Se
for um campo de velocidade em um fluido, qual a interpretação física de rot
e de div
?
10. Se
, como é que você testa para determinar se
é conservativo? E se
for um campo vetorial em
?
10. Se
Passo 1
O enunciado pergunta, para um campo de velocidade
num fluido, qual o significado físico de
e de
; depois, para
em
, como testar se é conservativo; e finalmente qual o teste em
. O conteúdo envolve cálculo vetorial: divergente, rotacional e campos conservativos.
Passo 2
A interpretação física de
(divergência) é a taxa de variação volumétrica do fluido num ponto, ou seja, mede se nesse ponto há “fontes” (
) ou “sumidouros” (
) de massa. Já
(ou vorticidade) mede a rotação local do fluido: um fluido com
gira em torno desse ponto, enquanto
indica escoamento irrotacional.
Passo 3
No plano, para
num domínio simplesmente conectado,
é conservativo se existir potencial
tal que
O teste prático é verificar se
Passo 4
Em
, para
num domínio simplesmente conectado,
é conservativo se e somente se o rotacional for zero, isto é,
Resposta
A divergência
mede a taxa de expansão (fontes ou sumidouros) do fluido e o rotacional
mede a rotação local (vorticidade).
Em ,
é conservativo se
.
Em ,
é conservativo se
(num domínio simplesmente conectado).
Em
Em