(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar f ao longo de uma curva suave C em relação ao comprimento de arco.
(b) Como calcular tal integral?
(c) Escreva expressões para a massa e para o centro de massa de um arame fino com o formato da curva C se o arame tiver função densidade linear \rho(x, y).
(d) Escreva as definições das integrais de linha sobre C de uma função escalar f com relação a x, y e z.
(e) Como calcular essas integrais de linha?

Passo 1

O enunciado pede várias definições e fórmulas envolvendo integrais de linha sobre uma curva suave C:
– (a) definição da integral de linha de uma função escalar f em relação ao comprimento de arco;
– (b) como calcular essa integral por parametrização;
– (c) expressão para a massa e o centro de massa de um arame com densidade linear \rho(x,y);
– (d) definições das integrais de linha de uma função escalar em relação a x, y e z;
– (e) como calcular essas últimas integrais por parametrização.

Passo 2

Definição da integral de linha de f sobre C em relação ao comprimento de arco:
Se partirmos C em n pedaços de comprimento \Delta s_i e escolhemos pontos P_i^* em cada pedaço, então
\int_C f\,ds = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(P_i^*)\,\Delta s_i,
desde que esse limite exista e seja independente da forma de particionar C.

Passo 3

Cálculo prático por parametrização:
Se C é dada por \mathbf r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], e \mathbf r é suave, então
\int_C f\,ds = \int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\lVert \mathbf r'(t)\bigr\rVert\,dt,
onde \bigl\lVert \mathbf r'(t)\bigr\rVert = \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}.

Passo 4

Massa e centro de massa de um arame fino sobre C com densidade linear \rho(x,y):
– Massa total
m = \int_C \rho\,ds.
– Coordenadas do centro de massa \bigl(\overline x,\overline y\bigr):
\overline x = \frac{1}{m}\int_C x\,\rho\,ds,\qquad \overline y = \frac{1}{m}\int_C y\,\rho\,ds.

Passo 5

Definições das integrais de linha de uma função escalar f em relação a x, y e z:
\int_C f\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(P_i^*)\,\Delta x_i, \quad \int_C f\,dy = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(P_i^*)\,\Delta y_i, \quad \int_C f\,dz = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(P_i^*)\,\Delta z_i.

Passo 6

Cálculo dessas integrais por parametrização \mathbf r(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b]:
\int_C f\,dx = \int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t)\,dt, \quad \int_C f\,dy = \int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,y'(t)\,dt, \quad \int_C f\,dz = \int_a^b f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.

Resposta

(a) \displaystyle \int_C f\,ds = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(P_i^*)\,\Delta s_i.
(b) \displaystyle \int_C f\,ds = \int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt.
(c) m=\displaystyle\int_C\rho\,ds,\;\overline x=\frac1m\int_C x\,\rho\,ds,\;\overline y=\frac1m\int_C y\,\rho\,ds.
(d) \displaystyle\int_C f\,dx=\lim\sum f(P_i^*)\Delta x_i,\;\int_C f\,dy=\lim\sum f(P_i^*)\Delta y_i,\;\int_C f\,dz=\lim\sum f(P_i^*)\Delta z_i.
(e) \displaystyle\int_C f\,dx=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,x'(t)\,dt,\;\int_C f\,dy=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,y'(t)\,dt,\;\int_C f\,dz=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,z'(t)\,dt.

Exercícios relacionados