(a) Escreva a definição da integral de linha para uma função escalar f ao longo de uma curva suave C em relação ao comprimento de arco.
(b) Como calcular tal integral?
(c) Escreva expressões para a massa e para o centro de massa de um arame fino com o formato da curva C se o arame tiver função densidade linear \rho(x, y).
(d) Escreva as definições das integrais de linha sobre C de uma função escalar f com relação a x, y e z.
(e) Como calcular essas integrais de linha?
Passo 1
O enunciado pede várias definições e fórmulas envolvendo integrais de linha sobre uma curva suave C:
– (a) definição da integral de linha de uma função escalar f em relação ao comprimento de arco;
– (b) como calcular essa integral por parametrização;
– (c) expressão para a massa e o centro de massa de um arame com densidade linear \rho(x,y);
– (d) definições das integrais de linha de uma função escalar em relação a x, y e z;
– (e) como calcular essas últimas integrais por parametrização.
Passo 2
Definição da integral de linha de f sobre C em relação ao comprimento de arco:
Se partirmos C em n pedaços de comprimento \Delta s_i e escolhemos pontos P_i^* em cada pedaço, então