Encontre a função potencial de F e resolva das integrais de linha:
\int_{C}\left(y e^{x}\right) d x\left(e^{x}\right) d y+(3 z) d z em que C é parametrizada por \sigma(t)=\left(t^{2}, 3 t^{2}+2,2 t+4\right) com
0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) do campo
F(x,y,z) = \bigl(y e^x,\;e^x,\;3z\bigr)
e usar o Teorema Fundamental do Cálculo em várias variáveis para calcular
\int_{C}y e^x\,dx + e^x\,dy + 3z\,dz
onde C é dada por \sigma(t) = (t^2,\,3t^2+2,\,2t+4), 0\le t\le1. O conteúdo é campo conservativo e potencial.

Passo 2

Verificamos que F é conservativo conferindo as derivadas parciais mistas:
\partial P/\partial y = \partial (y e^x)/\partial y = e^x e
\partial Q/\partial x = \partial (e^x)/\partial x = e^x;
\partial P/\partial z=0=\partial R/\partial x e
\partial Q/\partial z=0=\partial R/\partial y.
Como todas coincidem, \nabla\times F=0 e existe potencial \varphi.

Passo 3

Para achar \varphi, integramos P=y e^x em x:
\varphi(x,y,z)=\int y e^x\,dx = y e^x + h(y,z).
Derivando em y deve dar Q=e^x:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=e^x + \frac{\partial h}{\partial y}= e^x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=0
logo h=h(z). Agora \partial\varphi/\partial z= h'(z) deve ser 3z, ou seja
h'(z)=3z\quad\Longrightarrow\quad h(z)=\frac{3}{2}z^2 + C.
Podemos escolher C=0, então
\varphi(x,y,z)=y e^x + \frac{3}{2}z^2.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
\int_C F\cdot d\mathbf r = \varphi\bigl(\sigma(1)\bigr)-\varphi\bigl(\sigma(0)\bigr).
Calculamos \sigma(1)=(1,5,6) e \sigma(0)=(0,2,4).
\varphi(1,5,6)=5e^1 + \frac{3}{2}\,6^2 = 5e + 54, \quad \varphi(0,2,4)=2e^0 + \frac{3}{2}\,4^2 = 2 + 24 = 26.

Passo 5

Portanto
\int_C y e^x\,dx + e^x\,dy + 3z\,dz = \bigl(5e + 54\bigr) - 26 = 5e + 28.

Resposta

\displaystyle \varphi(x,y,z)=y e^x + \tfrac{3}{2}z^2.
\displaystyle \int_{C}y e^x\,dx + e^x\,dy +3z\,dz = 5e + 28.

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