Defina:
Livre percurso médio.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o termo “Livre percurso médio”.
Não há outros dados ou condições fornecidas — só é necessária uma definição clara, com fórmulas e explicações sobre o significado físico e como calcular na prática.

Passo 2

Intuição física (o que o termo representa).
O “livre percurso médio” é a distância média que uma partícula percorre entre duas colisões sucessivas com outras partículas do meio. Imagine uma partícula como um pedestre andando numa praça cheia de pessoas: às vezes anda bastante, às vezes esbarra logo em alguém. O livre percurso médio é a média dessas distâncias entre esbarrões. É uma medida de quanto o meio é “raro” ou “denso” do ponto de vista de colisões.

Passo 3

Definição matemática básica e símbolos usados.
Denotamos o livre percurso médio por \lambda. Para um gás diluído de partículas que colidem como esferas rígidas, aparecem dois parâmetros principais:
\;n = densidade numérica do meio (número de partículas por unidade de volume),
\;\sigma = seção de choque efetiva entre duas partículas (área efetiva para colisão).
A definição prática será dada por uma fórmula relacionando \lambda, n e \sigma.

Passo 4

Fórmula usual para um gás ideal de esferas duras e explicação do fator \sqrt{2}.
Se as partículas são moventes e as velocidades são aleatórias (distribuição de Maxwell), a expressão padrão é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
O que isso diz: quanto maior a densidade n ou maior a seção de choque \sigma, menor é \lambda (mais colisões, menor distância média entre elas).
Por que aparece o fator \sqrt{2}? Uma derivação rápida e didática:
  1. Considere a taxa de colisões que uma partícula “teste” sofre. Se as partículas-alvo estivessem em repouso, essa taxa seria n\,\sigma\,\overline{v}, onde \overline{v} é a velocidade média da partícula teste (ela “varre” uma área \sigma por unidade de tempo).
  2. Mas todas as partículas estão se movendo com velocidades aleatórias. Para levar isso em conta usamos a velocidade relativa média entre pares de partículas, \overline{v}_{\text{rel}}. Em um gás com distribuição de Maxwell, a relação aproximada é
\overline{v}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\overline{v}.
  1. A taxa de colisões por partícula é então n\,\sigma\,\overline{v}_{\text{rel}}=n\,\sigma\,\sqrt{2}\,\overline{v}. O tempo médio entre colisões é o inverso dessa taxa,
\tau=\frac{1}{n\,\sigma\,\sqrt{2}\,\overline{v}}.
  1. Finalmente, a distância média percorrida entre colisões é velocidade média vezes tempo médio,
\lambda=\overline{v}\,\tau=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
Observação: se os alvos fossem estacionários (caso de certos espalhamentos de ondas em meios imobilizados), o fator \sqrt{2} não aparece e teríamos \lambda=1/(n\sigma).

Passo 5

Como calcular \lambda a partir de pressão e temperatura (fórmula prática).
Para um gás ideal a densidade numérica relaciona-se com pressão e temperatura por
n=\frac{p}{k_B T},
onde \;p é a pressão, \;T a temperatura absoluta e \;k_B a constante de Boltzmann ( k_B\approx 1{,}38\times 10^{-23}\,\mathrm{J/K}). Substituindo em \lambda obtemos
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}.
Essa forma é muito útil em exercícios: se te derem p, T e o diâmetro molecular d, você calcula \sigma e depois \lambda.

Passo 6

Relação entre \sigma e o diâmetro molecular e exemplo numérico rápido.
Para moléculas tratadas como esferas duras com diâmetro d, a seção de choque geométrica é
\sigma=\pi d^2.
Exemplo prático (ordem de grandeza): ar a T=300\\ \mathrm{K}, p=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, suponha d\approx 3{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Então
\sigma=\pi d^2\approx \pi(3{,}0\times10^{-10})^2\approx 2{,}8\times10^{-19}\\ \mathrm{m^2}.
Usando \lambda=\dfrac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma} com k_B\approx 1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} resulta em
\lambda\sim \frac{1{,}38\times10^{-23}\cdot 300}{1{,}414\cdot 10^{5}\cdot 2{,}8\times10^{-19}}\sim 1\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
ou seja, da ordem de 10^{-7}\\ \mathrm{m} (casa dos 10^2 nm) — é só um cálculo aproximado para você ter ideia do tamanho.

Passo 7

Tempo entre colisões e outras observações úteis para prova.
O tempo médio entre colisões \tau e a frequência de colisões \nu estão relacionados por
\nu=\frac{1}{\tau}=n\,\sigma\,\overline{v}_{\text{rel}}\quad\text{e}\quad \tau=\frac{\lambda}{\overline{v}}.
Usando a relação \overline{v}_{\text{rel}}=\sqrt{2}\,\overline{v} \nu=\sqrt{2}\,n\,\sigma\,\overline{v} e \tau=1/(\sqrt{2}\,n\,\sigma\,\overline{v}).
Limitações e quando a fórmula não vale bem:
  • Pressupõe gás diluído (poucas colisões múltiplas instantâneas), sem interações de longo alcance.
  • Usa modelo de esferas ou uma seção de choque eficaz; para interações dependentes de energia a \sigma pode variar com velocidade.
  • Para partículas não clássicas (fótons, nêutrons em certos meios) a expressão pode ser \lambda=1/(n\sigma) dependendo do contexto (alvos efetivamente imóveis ou definição de \sigma).
Dica de prova: quando te pedirem calcular \lambda, pense nos passos em ordem: (i) achar \sigma a partir de d se for o caso; (ii) achar n via p/(k_B T) se der p e T; (iii) aplicar \lambda=1/(\sqrt{2} n \sigma) e checar unidades.

Passo 8

Resumo pedagógico final (como responder rápido na prova).
Se te pedirem uma definição curta e uma fórmula, responda dizendo que é a distância média entre colisões sucessivas e dê a fórmula útil com as variáveis definidas. Acrescente, se pedirem cálculo, a substituição por n=p/(k_B T) e \sigma=\pi d^2 para completar o cálculo.

Resposta

O livre percurso médio é a distância média que uma partícula percorre entre duas colisões sucessivas com outras partículas do meio. \displaystyle \lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma} \displaystyle \displaystyle (e, usando a lei dos gases ideais, \displaystyle \lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,p\,\sigma}).

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