Seja
um grupo e
. Diremos que
é um conjugado de
se existe
tal que
.
(i) Mostre que a relação de conjugação define uma relação de equivalência em
.
(ii) Particione o grupo
em classes de conjugação.
(iii) Se
e
são elementos conjugados do grupo
, mostre que possuem a mesma ordem.
(i) Mostre que a relação de conjugação define uma relação de equivalência em
(ii) Particione o grupo
(iii) Se
Passo 1
O enunciado trabalha com o seguinte conteúdo de teoria de grupos: definimos em um grupo
a relação “
é conjugado de
” sempre que existe
tal que
Precisamos:
- Mostrar que essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva (logo é equivalência).
- Listar as classes de conjugação em
. - Provar que conjugados têm a mesma ordem.
Passo 2
(i) Provar que a relação é de equivalência.
Reflexividade: para qualquer basta tomar
, o neutro. Então
Reflexividade: para qualquer
logo
é conjugado de
.
Simetria: se , escrevendo
, vemos que
é conjugado de
usando o elemento
.
Transitividade: se e
, então
Simetria: se
Transitividade: se
logo
é conjugado de
. Assim a relação é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 3
(ii) Particionar
. Os elementos de
são
Em
, conjugar um permutação corresponde a renumerar os pontos, e conserva o tipo de ciclo. Logo as classes de conjugação são:
– A identidade isolada:
– A identidade isolada:
– As três transposições (ciclo tipo
):
– Os dois 3-ciclos (tipo
):
Passo 4
(iii) Mostrar que conjugados têm a mesma ordem. Seja
. Então, para todo
,
Logo
se e somente se
. Portanto o menor
com
coincide com o de
, isto é,
.
Resposta
(i) A relação é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é equivalência.
(ii) As classes em são
,
e
.
(iii) Se então
, mostrando que
.
(ii) As classes em
(iii) Se