Seja G um grupo e a, b \in G. Diremos que a é um conjugado de b se existe g \in G tal que a=g^{-1} b g.
(i) Mostre que a relação de conjugação define uma relação de equivalência em G.
(ii) Particione o grupo S_{3} em classes de conjugação.
(iii) Se a e b são elementos conjugados do grupo G, mostre que possuem a mesma ordem.

Passo 1

O enunciado trabalha com o seguinte conteúdo de teoria de grupos: definimos em um grupo G a relação “ a é conjugado de b” sempre que existe g\in G tal que
a = g^{-1} b\,g.
Precisamos:
  1. Mostrar que essa relação é reflexiva, simétrica e transitiva (logo é equivalência).
  2. Listar as classes de conjugação em S_3.
  3. Provar que conjugados têm a mesma ordem.

Passo 2

(i) Provar que a relação é de equivalência.
Reflexividade: para qualquer a\in G basta tomar g=e, o neutro. Então
e^{-1} a\,e = a,
logo a é conjugado de a.
Simetria: se a = g^{-1} b\,g, escrevendo b = g\,a\,g^{-1}, vemos que b é conjugado de a usando o elemento g^{-1}.
Transitividade: se a = g^{-1} b\,g e b = h^{-1} c\,h, então
a = g^{-1}(h^{-1}c\,h)\,g = (h g)^{-1} c\,(h g),
logo a é conjugado de c. Assim a relação é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 3

(ii) Particionar S_3. Os elementos de S_3 são
\{\,e,\;(12),\;(13),\;(23),\;(123),\;(132)\}.
Em S_n, conjugar um permutação corresponde a renumerar os pontos, e conserva o tipo de ciclo. Logo as classes de conjugação são:
– A identidade isolada:
\{\,e\}.
– As três transposições (ciclo tipo (2)(1)(1)):
\{(12),\;(13),\;(23)\}.
– Os dois 3-ciclos (tipo (3)(1)):
\{(123),\;(132)\}.

Passo 4

(iii) Mostrar que conjugados têm a mesma ordem. Seja a=g^{-1} b\,g. Então, para todo n\ge1,
(a)^n = (g^{-1} b\,g)^n = g^{-1} b^n\,g.
Logo (a)^n = e se e somente se b^n = e. Portanto o menor n>0 com (a)^n=e coincide com o de b, isto é, \mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(b).

Resposta

(i) A relação é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é equivalência.
(ii) As classes em S_3 são
\{e\}, \{(12),(13),(23)\} e \{(123),(132)\}.
(iii) Se a=g^{-1}bg então (g^{-1}bg)^n=g^{-1}b^ng, mostrando que \mathrm{ord}(a)=\mathrm{ord}(b).

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