Sejam H_{1} e H_{2} dois subgrupos do grupo finito G possuindo ordens, respectivamente, s_{1} e s_{2}. Mostre que o conjunto H_{1} H_{2} possui s_{1} s_{2} / p elementos, onde p é a ordem do subgrupo H_{1} \cap H_{2}.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito e que H_{1} e H_{2} são subgrupos de G com
\lvert H_{1}\rvert = s_{1}, \lvert H_{2}\rvert = s_{2} e \lvert H_{1}\cap H_{2}\rvert = p.
Queremos mostrar que o produto
H_{1}H_{2} = \{\,h_{1}h_{2}\mid h_{1}\in H_{1},\,h_{2}\in H_{2}\}
tem exatamente \tfrac{s_{1}s_{2}}{p} elementos.
Para isso, vamos usar um argumento de contagem por meio de um mapeamento sobrejetor de H_{1}\times H_{2} em H_{1}H_{2} e contar o número de pré-imagens.

Passo 2

Defina o mapa
\varphi : H_{1}\times H_{2} \longrightarrow H_{1}H_{2}, \qquad \varphi(h_{1},h_{2}) = h_{1}\,h_{2}.
Claramente \varphi é sobrejetor, pois todo elemento de H_{1}H_{2} é, por definição, da forma h_{1}h_{2} com h_{1}\in H_{1}, h_{2}\in H_{2}.

Passo 3

Precisamos ver quantos pares (h_{1},h_{2}) caem na mesma imagem \varphi(h_{1},h_{2})=x.
Dado x\in H_{1}H_{2}, escolha uma escritura fixa x = a\,b com a\in H_{1} e b\in H_{2}.
Se (h_{1},h_{2}) satisfaz h_{1}h_{2}=x=a\,b, então
h_{1}^{-1}a = h_{2}b^{-1}.
O lado esquerdo está em H_{1} e o direito em H_{2}, logo ambos pertencem a H_{1}\cap H_{2}.
Defina k = h_{1}^{-1}a \in H_{1}\cap H_{2}. Então
h_{1} = a\,k^{-1}, \quad h_{2} = k\,b.
Isso mostra que cada escolha de k\in H_{1}\cap H_{2} dá exatamente um par (h_{1},h_{2}) com \varphi(h_{1},h_{2})=x, e vice-versa.
Portanto, para cada x\in H_{1}H_{2}, o conjunto de pré-imagens \varphi^{-1}(x) tem exatamente
\bigl\lvert \varphi^{-1}(x)\bigr\rvert = \bigl\lvert H_{1}\cap H_{2}\bigr\rvert = p
elementos.

Passo 4

Agora usamos o princípio da contagem de fibra de um mapa sobrejetor entre conjuntos finitos:
\lvert H_{1}\times H_{2}\rvert = \sum_{x\in H_{1}H_{2}} \bigl\lvert \varphi^{-1}(x)\bigr\rvert = \sum_{x\in H_{1}H_{2}} p = p\;\bigl\lvert H_{1}H_{2}\bigr\rvert.
Como \lvert H_{1}\times H_{2}\rvert = \lvert H_{1}\rvert\cdot\lvert H_{2}\rvert = s_{1}s_{2}, segue
s_{1}s_{2} = p\,\bigl\lvert H_{1}H_{2}\bigr\rvert \quad\Longrightarrow\quad \bigl\lvert H_{1}H_{2}\bigr\rvert = \frac{s_{1}s_{2}}{p}.

Resposta

\bigl\lvert H_{1}H_{2}\bigr\rvert = \frac{s_{1}\,s_{2}}{p}.

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