O que são vetores ortogonais e ortonormais? Dê três exemplos.

Passo 1

Vetores em R^n são ditos ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, para u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) temos
ucdotv = u1v1 + cdots + unvn = 0

Passo 2

Vetores ortonormais são aqueles que satisfazem duas condições ao mesmo tempo: são ortogonais entre si e cada um tem norma igual a 1. Em símbolos, para u e v ortonormais
ucdotv = 0 e |u| = |v| = 1

Passo 3

Exemplo 1: em R^2 considere
u = 12, v = 2-1
Calculando o produto escalar,
ucdotv = 1cdot2 + 2cdot(-1) = 2 - 2 = 0,
logo são ortogonais, mas |u|=|v|=raiz5neq1, ou seja, não são ortonormais.

Passo 4

Exemplo 2: em R^2 tome
e1 = tfrac1raiz2[0.3em]tfrac1raiz2, e2 = tfrac1raiz2[0.3em]-tfrac1raiz2
Aqui e1cdote2=0 e |e1|=|e2|=1, logo são ortonormais.]

Passo 5

Exemplo 3: no espaço R^3 o conjunto formado pelos vetores
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
é ortonormal, pois cada par é ortogonal ( eicdotej=0 se ineq j) e |ei|=1.

Resposta

Vetores ortogonais são aqueles cujo produto escalar é zero. Vetores ortonormais são ortogonais e têm norma igual a 1.
Exemplo 1: u=(1,2) e v=(2,-1) são ortogonais mas não ortonormais.
Exemplo 2: e1=(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2) e e2=(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2) são ortonormais em R^2.
Exemplo 3: e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1) formam um conjunto ortonormal em R^3.

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