Descreva a decomposição de Cholesky e dê dois exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a decomposição de Cholesky, um método de fatoração de matrizes na disciplina de Álgebra Linear Numérica. Vamos precisar do conceito de matriz simétrica definida positiva e da forma de escrever uma matriz triangular inferior.

Passo 2

A decomposição de Cholesky afirma que, se uma matriz AinR^ntimes n é simétrica ( A^T=A) e definida positiva ( x^T A x>0 para todo xneq0), então existe uma única matriz triangular inferior L com diagonal estritamente positiva tal que
A = L,L^T

Passo 3

Para construir L=(ellij), usa-se o seguinte procedimento para i=1,dots,n:
ellii = raiz,aii - sumk=1^i-1ellik^2,, ellji = 1elliil(aji - sumk=1^i-1elljk,ellikr) (j=i+1,dots,n)

Passo 4

Exemplo 1:
A = 4 & 2 [0.3em] 2 & 3
Calculemos
ell11 = raiz4 = 2, ell21 = 22 = 1, ell22 = raiz3 - 1^2 = raiz2
Logo
L = 2 & 0 [0.3em] 1 & raiz2,
e de fato LL^T = A.

Passo 5

Exemplo 2:
A = 25 & 15 & -5 [0.3em] 15 & 18 & 0 [0.3em] -5 & 0 & 11
Calculando em ordem:
ell11=raiz25=5, ell21=155=3, ell31=-55=-1, ell22=raiz18-3^2=3, ell32=0-(-1)cdot33=1, ell33=raiz11-((-1)^2+1^2)=3
Assim
L = 5 & 0 & 0 [0.3em] 3 & 3 & 0 [0.3em] -1 & 1 & 3 ,
e verifica-se que LL^T = A.

Resposta

A decomposição de Cholesky fatoriza uma matriz simétrica definida positiva A na forma
A = L,L^T,
onde L é triangular inferior com entradas dadas por
ellii = raizaii - sumk=1^i-1ellik^2, ellji = 1elliil(aji - sumk=1^i-1elljk,ellikr)
Exemplos:
1)
A = 4 & 2 2 & 3, L = 2 & 0 1 & raiz2
2)
A = 25 & 15 & -5 15 & 18 & 0 -5 & 0 & 11 , L = 5 & 0 & 0 3 & 3 & 0 -1 & 1 & 3

Exercícios relacionados