Defina a média
entre dois vetores
no espaço vetorial
pondo
. Prove que
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado define em um espaço vetorial
a operação
Queremos provar que
se e somente se
.
O conteúdo aqui é manipular combinações lineares de vetores e comparar coeficientes.
O conteúdo aqui é manipular combinações lineares de vetores e comparar coeficientes.
Passo 2
Calculemos primeiro o lado esquerdo:
Distribuindo os fatores, obtemos
Passo 3
Agora o lado direito:
que dá
Passo 4
Para que os dois resultados coincidam, precisamos de
Cancelando
dos dois lados e multiplicando tudo por
, vem
Isso mostra que a igualdade só pode ocorrer se
.
Passo 5
Falta ver que, se
, então de fato
.
Basta substituir em qualquer uma das expressões do Passo 2 ou 3 e notar que ambas viram
Basta substituir
Resposta
(
se e somente se