Defina a média u star v entre dois vetores u, v no espaço vetorial V pondo u star v=12 u+12 v. Prove que (u star v) star w=u star(v star w) se e somente se u=w.

Passo 1

O enunciado define em um espaço vetorial V a operação
ustarv = tfrac12,u + tfrac12,v
Queremos provar que
(ustarv)starw ;=;ustar(vstarw)
se e somente se u=w.
O conteúdo aqui é manipular combinações lineares de vetores e comparar coeficientes.

Passo 2

Calculemos primeiro o lado esquerdo:
(ustarv)starw = tfrac12,(ustarv) + tfrac12,w = tfrac12l(tfrac12,u + tfrac12,vr) + tfrac12,w
Distribuindo os fatores, obtemos
(ustarv)starw = tfrac14,u + tfrac14,v + tfrac12,w

Passo 3

Agora o lado direito:
ustar(vstarw) = tfrac12,u + tfrac12,(vstarw) = tfrac12,u + tfrac12l(tfrac12,v + tfrac12,wr),
que dá
ustar(vstarw) = tfrac12,u + tfrac14,v + tfrac14,w

Passo 4

Para que os dois resultados coincidam, precisamos de
tfrac14,u + tfrac14,v + tfrac12,w ;=; tfrac12,u + tfrac14,v + tfrac14,w
Cancelando tfrac14,v dos dois lados e multiplicando tudo por 4, vem
u + v + 2w = 2u + v + w Longrightarrow 2w-w = 2u-u Longrightarrow w = u
Isso mostra que a igualdade só pode ocorrer se u=w.

Passo 5

Falta ver que, se u=w, então de fato
(ustarv)staru = ustar(vstaru).
Basta substituir w=u em qualquer uma das expressões do Passo 2 ou 3 e notar que ambas viram
tfrac14,u+tfrac14,v+tfrac12,u = tfrac34,u+tfrac14,v

Resposta

( ustarv)starw = ustar(vstarw) se e somente se u = w

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