Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais de R^3 ?
(x, y, z) in R^3: x=y=z.

Passo 1

Estamos estudando subespaços vetoriais de R^3. Para mostrar que um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço, precisamos verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e alphainR então alpha uin W.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence ao conjunto
W = (x,y,z)inR^3 : x=y=z
Para (0,0,0) temos 0=0=0, logo (0,0,0)in W. Assim W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição: tomemos dois vetores quaisquer em W, digamos
u=(t,t,t), v=(s,s,s),
com t,sinR. Então
u+v = (t+s,;t+s,;t+s),
e de fato (t+s)=(t+s)=(t+s), logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e u=(t,t,t)in W. Então
alpha u = (alpha t,;alpha t,;alpha t),
e claramente alpha t=alpha t=alpha t, portanto alpha uin W.

Resposta

O conjunto (x,y,z)inR^3: x=y=z é um subespaço vetorial de R^3.

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