Para uma viga engastada submetida a uma carga, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa e secção transversal quadrada de b=0.30 m, considere o comprimento da barra de L=10 m. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x:
omega(x)=omega0 sin (pi xLx)
Sendo omega0=4.6 kN / m. Determine:
a) A equação diferencial, modo estático, que governa o deslocamento vertical e a solução geral (considere que o carregamento é uniforme).
b) Resolva a equação diferencial para determinar o deslocamento vertical e o momento fletor ao longo da viga.
c) Resolva o mesmo problema considerando que a viga apresenta seção variável ao longo do comprimento, onde do lado do engaste a seção transversal da viga tem base b=0.30 m e altura de 0.60 m , já no outro lado da viga (livre) a seção transversal tem base b=0.30 m e altura de 0.20 m .
d) A forma dinâmica que governa este problema considere os dados obtidos de da questão (b) e resolva utilizando o método das diferenças finitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre deflexão de uma viga engastada com vários desafios. A gente vai usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre como uma viga se deforma sob carga. Para isso, vamos precisar entender equações diferenciais, métodos de solução e um pouco sobre propriedades das seções transversais. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. A gente precisa encontrar a equação diferencial que descreve o deslocamento vertical da viga e a solução geral dessa equação, assumindo que a carga é uniforme.

Passo 3

Para modelar a deflexão da viga, usamos a equação da viga de Euler-Bernoulli. Essa equação relaciona a carga aplicada com o deslocamento da viga. A equação geral é:
EI d^4 y(x)dx^4 = omega(x)
Aqui:
  • E é o módulo de elasticidade.
  • I é o momento de inércia da seção transversal.
  • y(x) é o deslocamento vertical.
  • omega(x) é a carga distribuída.

Passo 4

No nosso caso, a carga distribuída varia com x :
omega(x) = omega0 sin(pi xL)
Dado que:
  • omega0 = 4.6 , kN/m
  • L = 10 , m
Então, substituindo na equação da viga:
EI d^4 y(x)dx^4 = 4.6 sin(pi x10)

Passo 5

Para encontrar a solução geral da equação diferencial, precisamos integrar essa equação quatro vezes. Porém, vamos primeiro simplificar a equação dividindo ambos os lados por EI :
d^4 y(x)dx^4 = 4.6EI sin(pi x10)
Integrando cada vez, obtemos a solução geral que inclui constantes de integração:
y(x) = Solução Particular + C1 x^3 + C2 x^2 + C3 x + C4 çã
A solução particular depende da forma da carga aplicada, que nesse caso é uma função seno.

Resposta

A equação diferencial que governa o deslocamento vertical da viga, considerando uma carga distribuída de módulo omega(x) = 4.6 sin(pi x10) , kN/m , é:
EI d^4 y(x)dx^4 = 4.6 sin(pi x10)
A solução geral dessa equação diferencial, assumindo carregamento uniforme, é dada por:
y(x) = Solução Particular + C1 x^3 + C2 x^2 + C3 x + C4 çã
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno específicas da viga engastada.

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