Para uma viga engastada submetida a uma carga, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa e secção transversal quadrada de
, considere o comprimento da barra de
. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x:
Sendo
. Determine:
a) A equação diferencial, modo estático, que governa o deslocamento vertical e a solução geral (considere que o carregamento é uniforme).
b) Resolva a equação diferencial para determinar o deslocamento vertical e o momento fletor ao longo da viga.
c) Resolva o mesmo problema considerando que a viga apresenta seção variável ao longo do comprimento, onde do lado do engaste a seção transversal da viga tem base
e altura de 0.60 m , já no outro lado da viga (livre) a seção transversal tem base
e altura de 0.20 m .
d) A forma dinâmica que governa este problema considere os dados obtidos de da questão (b) e resolva utilizando o método das diferenças finitas.
a) A equação diferencial, modo estático, que governa o deslocamento vertical e a solução geral (considere que o carregamento é uniforme).
b) Resolva a equação diferencial para determinar o deslocamento vertical e o momento fletor ao longo da viga.
c) Resolva o mesmo problema considerando que a viga apresenta seção variável ao longo do comprimento, onde do lado do engaste a seção transversal da viga tem base
d) A forma dinâmica que governa este problema considere os dados obtidos de da questão (b) e resolva utilizando o método das diferenças finitas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre deflexão de uma viga engastada com vários desafios. A gente vai usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre como uma viga se deforma sob carga. Para isso, vamos precisar entender equações diferenciais, métodos de solução e um pouco sobre propriedades das seções transversais. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. A gente precisa encontrar a equação diferencial que descreve o deslocamento vertical da viga e a solução geral dessa equação, assumindo que a carga é uniforme.
Passo 3
Para modelar a deflexão da viga, usamos a equação da viga de Euler-Bernoulli. Essa equação relaciona a carga aplicada com o deslocamento da viga. A equação geral é:
Aqui:
-
é o módulo de elasticidade. -
é o momento de inércia da seção transversal. -
é o deslocamento vertical. -
é a carga distribuída.
Passo 4
No nosso caso, a carga distribuída varia com
:
Dado que:
Então, substituindo na equação da viga:
Passo 5
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, precisamos integrar essa equação quatro vezes. Porém, vamos primeiro simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Integrando cada vez, obtemos a solução geral que inclui constantes de integração:
A solução particular depende da forma da carga aplicada, que nesse caso é uma função seno.
Resposta
A equação diferencial que governa o deslocamento vertical da viga, considerando uma carga distribuída de módulo
, é:
A solução geral dessa equação diferencial, assumindo carregamento uniforme, é dada por:
Onde
são constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno específicas da viga engastada.