Sejam u, v vetores linearmente independentes em R^3 e seja P o plano contendo u, v e 0. A equação paramétrica de P é x=lambda u+gamma v, com lambda e gamma números reais. Mostre que a transformação linear T: R^3 R^3 transforma P em um plano contendo 0 , ou em uma reta contendo 0 , ou apenas a origem em R^3. O que precisa acontecer com T(u) e T(v) para que a imagem do plano P seja um plano?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos dois vetores, u e v, que são linearmente independentes em R^3. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. O plano P é definido como o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores mais a origem, ou seja, P = lambda u + gamma v, onde lambda e gamma são números reais.
Nosso objetivo é mostrar como uma transformação linear T: R^3 R^3 afeta este plano P. Precisamos entender sob quais condições a imagem de P por T será:
  1. Um plano que contém a origem.
  2. Uma reta que contém a origem.
  3. Apenas a origem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e propriedades de imagens de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear transforma espaços vetoriais mantendo a estrutura de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se T é linear, então para quaisquer vetores a e b e escalares k e m:
T(a + b) = T(a) + T(b)
T(ka) = kT(a)
Isso significa que a imagem de uma combinação linear também será uma combinação linear das imagens dos vetores.

Passo 3

Aplicando a transformação T ao plano P, temos:
T(x) = T(lambda u + gamma v) = lambda T(u) + gamma T(v)
Isso mostra que a imagem de qualquer vetor no plano P é uma combinação linear dos vetores T(u) e T(v).

Passo 4

Agora, vamos analisar as possibilidades para a imagem de P sob T:
  1. Imagem é um plano contendo a origem: Isso acontece se T(u) e T(v) forem vetores linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro, mantendo assim a dimensão 2 do plano.
  2. Imagem é uma reta contendo a origem: Isso ocorre se T(u) e T(v) forem vetores linearmente dependentes. Neste caso, ambos os vetores estão na mesma direção, fazendo com que todas as combinações lineares resultem em uma única direção, formando uma reta.
  3. Imagem é apenas a origem: Isso acontece se ambos os vetores T(u) e T(v) forem o vetor nulo 0. Assim, independentemente dos valores de lambda e gamma, a combinação linear sempre resultará em 0.

Passo 5

Resumindo, para que a imagem do plano P sob a transformação T seja um plano, é necessário que os vetores T(u) e T(v) sejam linearmente independentes. Isso garante que a imagem mantenha sua dimensão original (2 dimensões) e, portanto, continue sendo um plano que contém a origem.

Resposta

Para que a imagem do plano P pela transformação linear T seja um plano que contém a origem, os vetores T(u) e T(v) devem ser linearmente independentes. Se eles forem dependentes, a imagem será uma reta ou apenas a origem. Portanto, T(P) é um plano contendo a origem se, e somente se, T(u) e T(v) forem vetores linearmente independentes.

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