Sejam
vetores linearmente independentes em
e seja
o plano contendo
e
. A equação paramétrica de
é
, com
e
números reais. Mostre que a transformação linear
transforma
em um plano contendo 0 , ou em uma reta contendo 0 , ou apenas a origem em
. O que precisa acontecer com
e
para que a imagem do plano
seja um plano?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos dois vetores,
e
, que são linearmente independentes em
. Isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. O plano
é definido como o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores mais a origem, ou seja,
, onde
e
são números reais.
Nosso objetivo é mostrar como uma transformação linear
afeta este plano
. Precisamos entender sob quais condições a imagem de
por
será:
- Um plano que contém a origem.
- Uma reta que contém a origem.
- Apenas a origem.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e propriedades de imagens de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear transforma espaços vetoriais mantendo a estrutura de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se
é linear, então para quaisquer vetores
e
e escalares
e
:
Isso significa que a imagem de uma combinação linear também será uma combinação linear das imagens dos vetores.
Passo 3
Aplicando a transformação
ao plano
, temos:
Isso mostra que a imagem de qualquer vetor no plano
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar as possibilidades para a imagem de
sob
:
-
Imagem é um plano contendo a origem: Isso acontece se
e forem vetores linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro, mantendo assim a dimensão 2 do plano. -
Imagem é uma reta contendo a origem: Isso ocorre se
e forem vetores linearmente dependentes. Neste caso, ambos os vetores estão na mesma direção, fazendo com que todas as combinações lineares resultem em uma única direção, formando uma reta. -
Imagem é apenas a origem: Isso acontece se ambos os vetores
e forem o vetor nulo . Assim, independentemente dos valores de e , a combinação linear sempre resultará em .
Passo 5
Resumindo, para que a imagem do plano
sob a transformação
seja um plano, é necessário que os vetores
e
sejam linearmente independentes. Isso garante que a imagem mantenha sua dimensão original (2 dimensões) e, portanto, continue sendo um plano que contém a origem.
Resposta
Para que a imagem do plano
pela transformação linear
seja um plano que contém a origem, os vetores
e
devem ser linearmente independentes. Se eles forem dependentes, a imagem será uma reta ou apenas a origem. Portanto,
é um plano contendo a origem se, e somente se,
e
forem vetores linearmente independentes.