Defina, mas não calcule, uma integral que forneça o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre as curvas dadas em torno da reta especificada.
8 y=x^{2}, \quad y=\sqrt{x}; em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas \;y=\tfrac{x^2}{8}\; e \;y=\sqrt{x}\;. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que nos dará uma integral em x.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo
\frac{x^2}{8} = \sqrt{x}.
Elevando ao quadrado e rearranjando surge x=0 ou x=4. Logo, a região vai de x=0 a x=4.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, para cada valor de x em [0,4] temos:
– raio da casca: x,
– altura da casca: diferença entre as funções, isto é, \sqrt{x}-\tfrac{x^2}{8},
– espessura: dx.
O volume elemental é
dV = 2\pi \,\bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx = 2\pi\,x\Bigl(\sqrt{x}-\tfrac{x^2}{8}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Somando todas as cascas de x=0 a x=4, a integral que define o volume é
V = 2\pi \int_{0}^{4} x\Bigl(\sqrt{x}-\tfrac{x^2}{8}\Bigr)\,dx.

Resposta

V = 2\pi \int_{0}^{4} x\Bigl(\sqrt{x}-\tfrac{x^2}{8}\Bigr)\,dx.

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