Defina, mas não calcule, uma integral que forneça o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre as curvas dadas em torno da reta especificada.
y=(x-2)^{2} \quad y=x+10; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
y = (x-2)^{2}
e
y = x + 10.
Como estamos girando em torno do eixo x, vamos usar o método dos discos (ou “anel fino”), em que
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[R(x)^{2} - r(x)^{2}\bigr]\;dx,
sendo R(x) o raio externo e r(x) o raio interno.

Passo 2

Precisamos dos limites de integração a e b, que são os pontos de interseção das curvas. Resolvendo
(x-2)^{2} \;=\; x + 10
temos
x^{2} -4x +4 = x + 10 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} -5x -6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}.
Logo, x = -1 e x = 6.

Passo 3

Para determinar qual curva está acima, escolhemos um ponto qualquer em [-1,6], por exemplo x=0:
(x-2)^{2}\bigl|_{x=0} = 4, \quad x+10\bigl|_{x=0} = 10,
então y = x+10 é a função superior e y=(x-2)^{2} a inferior no intervalo de interesse.

Passo 4

Como giramos em torno do eixo x, o raio externo é
R(x) = y_{\text{superior}} = x + 10,
e o raio interno é
r(x) = y_{\text{inferior}} = (x-2)^{2}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume por discos e tomando a=-1, b=6, obtemos
V = \pi \int_{-1}^{6} \Bigl[\,(x+10)^{2} - \bigl((x-2)^{2}\bigr)^{2}\Bigr]\;dx.

Resposta

V = \pi \int_{-1}^{6} \bigl[(x+10)^{2} - (x-2)^{4}\bigr]\;dx.

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