Defina, mas não calcule, uma integral que forneça o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre as curvas dadas em torno da reta especificada.
y=\sqrt{x}, \quad y=0, \quad x=4 ; \quad em torno de x=6

Passo 1

Temos a região em xy dada por
y=\sqrt{x},\quad y=0,\quad x=4,
e queremos o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta x=6.
O conteúdo que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, pois a reta de rotação é vertical e a integral fica em x.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, para cada x\in[0,4] consideramos uma casca de altura
h(x)=\sqrt{x}-0=\sqrt{x},
raio
r(x)=6-x
e espessura \,dx. O volume é dado por
V = 2\pi \int_{0}^{4} r(x)\,h(x)\,dx =2\pi \int_{0}^{4} (6 - x)\,\sqrt{x}\,dx.

Resposta

V = 2\pi \int_{0}^{4} (6 - x)\,\sqrt{x}\,dx.

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