A integral indefinida \int \frac{x}{\sqrt{4+x^{4}}} d x, que pode ser calculada fazendo-se a substituição u=x^{2}, é igual a
Escolha uma opção:
a. \frac{1}{2} \ln \left(x+\sqrt{4+x^{4}}\right)+C
b. \frac{1}{2} \ln (3 x+2)+C
c. \frac{x}{2} \operatorname{arc} \backslash, \operatorname{tg} \frac{x}{2}+C
d. \frac{1}{2} \ln \left(x+\sqrt{4+x^{2}}\right)+C
e. \frac{1}{2} \ln \left(2+\sqrt{4+x^{2}}\right)+C

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{x}{\sqrt{4 + x^{4}}}\,dx
e sugere a substituição u=x^{2}. O conteúdo é técnica de substituição em integrais e uso da primitiva de 1/\sqrt{a^{2}+u^{2}}.

Passo 2

Fazendo u = x^{2}, temos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Assim
\int \frac{x}{\sqrt{4 + x^{4}}}\,dx = \frac12 \int \frac{du}{\sqrt{4 + u^{2}}}.

Passo 3

Lembrando que
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}} = \ln\!\bigl|u + \sqrt{a^{2}+u^{2}}\bigr| + C,
com a^{2}=4, obtemos
\frac12 \int \frac{du}{\sqrt{4 + u^{2}}} = \frac12 \ln\!\bigl|u + \sqrt{4 + u^{2}}\bigr| + C = \frac12 \ln\!\bigl(x^{2} + \sqrt{4 + x^{4}}\bigr) + C.

Passo 4

Comparando com as alternativas dadas, a única que coincide (até ajuste de constante dentro do logaritmo) é
\frac12 \ln\!\bigl(x + \sqrt{4 + x^{4}}\bigr) + C,
que é a opção (a).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{4+x^{4}}\bigr)+C

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