Estude as funções dadas em relação a concavidade e pontos de inflexão.
a) f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x
b) f(x)=2 x^{3}-x^{2}-4 x+1
c) f(x)=x e^{-2 x}
d) x(t)=t^{2}+\frac{1}{t}
e) g(x)=e^{-x}-e^{-2 x}
f) g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-2}
g) y=\frac{x}{1+x^{2}}
h) f(x)=1-e^{-x}
i) f(x)=\frac{\ln x}{x}
j) f(x)=x^{4}-2 x^{3}+2 x
  1. g(x)=\sqrt[3]{x^{2}-x^{3}}
    m) y=\frac{x^{3}}{1+x^{2}}
    n) f(x)=\frac{1}{x e^{x}}
    o) f(x)=x \ln x
  1. Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.

Passo 1

O enunciado pede para, para cada função dada, determinar onde ela é côncava para cima (onde f''>0), côncava para baixo (onde f''<0) e os pontos de inflexão (onde f''=0 e troca de sinal). Depois, esboçar qualitativamente o gráfico de cada uma, indicando concavidade, pontos notáveis e comportamentos assintóticos.

Passo 2

Método geral para cada função f:
  1. Calcular f'(x).
  2. Calcular f''(x).
  3. Resolver \displaystyle f''(x)=0 para achar candidatos a pontos de inflexão.
  4. Fazer análise de sinal de f''(x) em cada intervalo definido por esses candidatos (e por descontinuidades) para classificar concavidade.
  5. Pontos em que f'' troca de sinal são pontos de inflexão.

Passo 3

a) f(x)=x^3-3x^2-9x
f'(x)=3x^2-6x-9,\quad f''(x)=6x-6. \,f''(x)=0 \implies x=1.
Para x<1, 6x-6<0 (côncava para baixo); para x>1, 6x-6>0 (côncava para cima).
Ponto de inflexão em x=1.
b) f(x)=2x^3-x^2-4x+1
f'(x)=6x^2-2x-4,\quad f''(x)=12x-2. \,f''(x)=0 \implies x=\tfrac16.
Para x<\tfrac16, f''<0 (côncava para baixo); para x>\tfrac16, f''>0 (côncava para cima).
Ponto de inflexão em x=\tfrac16.

Passo 4

c) f(x)=x e^{-2x}
f'(x)=e^{-2x}(1-2x),\quad f''(x)=e^{-2x}(-2+4x). \,f''(x)=0 \implies x=\tfrac12.
Para x<\tfrac12, -2+4x<0 (côncava para baixo); para x>\tfrac12, >0 (côncava para cima).
Ponto de inflexão em x=\tfrac12.
d) x(t)=t^2+\tfrac1t
x'(t)=2t-\tfrac1{t^2},\quad x''(t)=2+\tfrac2{t^3}. \,x''(t)=0 \implies t^3=-1 \implies t=-1.
Análise de sinal: para t< -1, x''>0; para -1<t<0, x''<0; para t>0, x''>0.
Ponto de inflexão em t=-1.

Passo 5

e) g(x)=e^{-x}-e^{-2x}
g'(x)=-e^{-x}+2e^{-2x},\quad g''(x)=e^{-x}-4e^{-2x}. \,g''(x)=0 \implies e^{-x}=1/4 \implies x=\ln4.
Para x<\ln4, g''<0; para x>\ln4, g''>0.
Ponto de inflexão em x=\ln4.
f) g(x)=\frac{x^2}{x^2-2}
g'(x)=-\frac{4x}{(x^2-2)^2},\quad g''(x)=\frac{4\,(3x^2+2)}{(x^2-2)^3}.
Numerador sempre >0. Logo o sinal de g'' vem de (x^2-2)^3:
– Se |x|>\sqrt2, x^2-2>0 \implies g''>0 (côncava p/ cima).
– Se |x|<\sqrt2, x^2-2<0 \implies g''<0 (côncava p/ baixo).
Pontos de inflexão em x=\pm\sqrt2 (onde muda o sinal, excluindo descontinuidades).

Passo 6

g) y=\dfrac{x}{1+x^2}
y'=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2},\quad y''=\frac{2x\,(x^2-3)}{(1+x^2)^3}. \,y''(x)=0 \implies x=0,\pm\sqrt3.
Sinal de y'':
x<-\sqrt3: y''<0 (côncava p/ baixo)
-\sqrt3<x<0: y''>0 (côncava p/ cima)
0<x<\sqrt3: y''<0
x>\sqrt3: y''>0.
Pontos de inflexão em x=-\sqrt3,0,\sqrt3.
h) f(x)=1-e^{-x}
f'(x)=e^{-x},\quad f''(x)=-e^{-x}<0\quad\forall x.
Sempre côncava para baixo; sem ponto de inflexão.

Passo 7

i) f(x)=\frac{\ln x}{x}, x>0
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2},\quad f''(x)=\frac{-3+2\ln x}{x^3}. \,f''(x)=0 \implies \ln x=\tfrac32 \implies x=e^{3/2}.
Para 0<x<e^{3/2}, f''<0; para x>e^{3/2}, f''>0.
Ponto de inflexão em x=e^{3/2}.
j) f(x)=x^4-2x^3+2x
f'(x)=4x^3-6x^2+2,\quad f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1). \,f''(x)=0 \implies x=0,1.
x<0: f''>0
0<x<1: f''<0
x>1: f''>0.
Pontos de inflexão em x=0 e x=1.

Passo 8

l) g(x)=\sqrt[3]{\,x^2-x^3\,}
Defina u=x^2-x^3. Um cálculo longo dá
g''(x)=-\frac{2x^2}{9\,(x^2-x^3)^{5/3}}.
O numerador é -2x^2<0, o denominador tem sinal de (x^2(1-x))^{5/3}. Concluímos:
– Para x<1, denom >0 \implies g''<0 (côncava p/ baixo).
– Para x>1, denom <0 \implies g''>0 (côncava p/ cima).
Inflection em x=1.
m) y=\dfrac{x^3}{1+x^2}
y'=\frac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2},\quad y''=\frac{2x\,(3-x^2)}{(1+x^2)^3}. \,y''(x)=0 \implies x=0,\pm\sqrt3.
Sinal de y'':
x<-\sqrt3: >0
-\sqrt3<x<0: <0
0<x<\sqrt3: >0
x>\sqrt3: <0.
Inflections em x=-\sqrt3,0,\sqrt3.

Passo 9

n) f(x)=\frac1{x e^x}=x^{-1}e^{-x}
f'(x)=-e^{-x}\Bigl(\tfrac1{x^2}+\tfrac1{x}\Bigr),\quad f''(x)=e^{-x}\,\frac{x^2+2x+2}{x^3}.
O numerador é sempre >0, logo o sinal de f'' é o sinal de 1/x^3:
x<0: f''<0 (côncava p/ baixo)
x>0: f''>0 (côncava p/ cima).
Não há inflexão em x=0 (domínio exclui 0).
o) f(x)=x\ln x, x>0
f'(x)=\ln x+1,\quad f''(x)=\tfrac1{x}>0\quad\forall x>0.
Sempre côncava para cima; sem ponto de inflexão.

Resposta

a) concava ↓ em (-\infty,1), concava ↑ em (1,\infty); inflexão em x=1.
b) concava ↓ em (-\infty,\tfrac16), concava ↑ em (\tfrac16,\infty); inflexão em x=\tfrac16.
c) concava ↓ em (-\infty,\tfrac12), concava ↑ em (\tfrac12,\infty); inflexão em x=\tfrac12.
d) concava ↑ para t< -1, ↓ em (-1,0), ↑ em (0,\infty); inflexão em t=-1.
e) concava ↓ em (-\infty,\ln4), ↑ em (\ln4,\infty); inflexão em x=\ln4.
f) concava ↓ em (-\sqrt2,\sqrt2), ↑ fora desse intervalo; inflexão em x=\pm\sqrt2.
g) concava ↓ em (-\infty,-\sqrt3), ↑ em (-\sqrt3,0), ↓ em (0,\sqrt3), ↑ em (\sqrt3,\infty); inflexões em x=-\sqrt3,0,\sqrt3.
h) sempre concava ↓; sem inflexão.
i) concava ↓ em \bigl(0,e^{3/2}\bigr), ↑ em \bigl(e^{3/2},\infty\bigr); inflexão em x=e^{3/2}.
j) concava ↑ em (-\infty,0), ↓ em (0,1), ↑ em (1,\infty); inflexões em x=0,1.
l) concava ↓ em (-\infty,1), ↑ em (1,\infty); inflexão em x=1.
m) concava ↑ em (-\infty,-\sqrt3), ↓ em (-\sqrt3,0), ↑ em (0,\sqrt3), ↓ em (\sqrt3,\infty); inflexões em x=-\sqrt3,0,\sqrt3.
n) concava ↓ em (-\infty,0), ↑ em (0,\infty); sem inflexão no domínio.
o) sempre concava ↑; sem inflexão.
Os esboços seguem essas concavidades, com pontos de inflexão marcados e comportamentos assintóticos indicados (quando houver).

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