Estude as funções dadas em relação a concavidade e pontos de inflexão.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
-
m)
n)
o)
- Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
m)
n)
o)
Passo 1
O enunciado pede para, para cada função dada, determinar onde ela é côncava para cima (onde
), côncava para baixo (onde
) e os pontos de inflexão (onde
e troca de sinal). Depois, esboçar qualitativamente o gráfico de cada uma, indicando concavidade, pontos notáveis e comportamentos assintóticos.
Passo 2
Método geral para cada função
:
- Calcular
. - Calcular
. - Resolver
para achar candidatos a pontos de inflexão. - Fazer análise de sinal de
em cada intervalo definido por esses candidatos (e por descontinuidades) para classificar concavidade. - Pontos em que
troca de sinal são pontos de inflexão.
Passo 3
a)
Para
,
(côncava para baixo); para
,
(côncava para cima).
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em
b)
Para
,
(côncava para baixo); para
,
(côncava para cima).
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em
Passo 4
c)
Para
,
(côncava para baixo); para
,
(côncava para cima).
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em
d)
Análise de sinal: para
,
; para
,
; para
,
.
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em
Passo 5
e)
Para
,
; para
,
.
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em
f)
Numerador sempre
. Logo o sinal de
vem de
:
– Se ,
(côncava p/ cima).
– Se ,
(côncava p/ baixo).
Pontos de inflexão em (onde muda o sinal, excluindo descontinuidades).
– Se
– Se
Pontos de inflexão em
Passo 6
g)
Sinal de
:
– :
(côncava p/ baixo)
– :
(côncava p/ cima)
– :
– :
.
Pontos de inflexão em .
–
–
–
–
Pontos de inflexão em
h)
Sempre côncava para baixo; sem ponto de inflexão.
Passo 7
i)
,
Para
,
; para
,
.
Ponto de inflexão em .
Ponto de inflexão em
j)
–
:
– :
– :
.
Pontos de inflexão em e
.
–
–
Pontos de inflexão em
Passo 8
l)
Defina . Um cálculo longo dá
Defina
O numerador é
, o denominador tem sinal de
. Concluímos:
– Para , denom
(côncava p/ baixo).
– Para , denom
(côncava p/ cima).
Inflection em .
– Para
– Para
Inflection em
m)
Sinal de
:
– :
– :
– :
– :
.
Inflections em .
–
–
–
–
Inflections em
Passo 9
n)
O numerador é sempre
, logo o sinal de
é o sinal de
:
– :
(côncava p/ baixo)
– :
(côncava p/ cima).
Não há inflexão em (domínio exclui 0).
–
–
Não há inflexão em
o)
,
Sempre côncava para cima; sem ponto de inflexão.
Resposta
a) concava ↓ em
, concava ↑ em
; inflexão em
.
b) concava ↓ em , concava ↑ em
; inflexão em
.
c) concava ↓ em , concava ↑ em
; inflexão em
.
d) concava ↑ para , ↓ em
, ↑ em
; inflexão em
.
e) concava ↓ em , ↑ em
; inflexão em
.
f) concava ↓ em , ↑ fora desse intervalo; inflexão em
.
g) concava ↓ em , ↑ em
, ↓ em
, ↑ em
; inflexões em
.
h) sempre concava ↓; sem inflexão.
i) concava ↓ em , ↑ em
; inflexão em
.
j) concava ↑ em , ↓ em
, ↑ em
; inflexões em
.
l) concava ↓ em , ↑ em
; inflexão em
.
m) concava ↑ em , ↓ em
, ↑ em
, ↓ em
; inflexões em
.
n) concava ↓ em , ↑ em
; sem inflexão no domínio.
o) sempre concava ↑; sem inflexão.
b) concava ↓ em
c) concava ↓ em
d) concava ↑ para
e) concava ↓ em
f) concava ↓ em
g) concava ↓ em
h) sempre concava ↓; sem inflexão.
i) concava ↓ em
j) concava ↑ em
l) concava ↓ em
m) concava ↑ em
n) concava ↓ em
o) sempre concava ↑; sem inflexão.
Os esboços seguem essas concavidades, com pontos de inflexão marcados e comportamentos assintóticos indicados (quando houver).