Defina, mas não calcule, uma integral que represente a área da região compreendida entre as curvas fornecidas.
y=ln x, y=ln (x^2), x=2

Passo 1

O enunciado pede a área da região compreendida entre as curvas y=ln x, y=ln(x^2) e a reta vertical x=2. Para isso, vamos usar a fórmula da área entre duas curvas no sentido de x, que é
integrala^bl(ftopo(x)-ffundo(x)r),dx,
onde [a,b] é o intervalo de x onde as curvas se interceptam e se fecham pela reta x=2.

Passo 2

Encontrar o ponto de interseção entre y=ln x e y=ln(x^2). Igualando:
ln x = ln(x^2)
isso equivale a
ln x = 2ln x Longrightarrow ln x = 0 Longrightarrow x=1

Passo 3

Determinar qual curva está acima no intervalo de x=1 até x=2. Para x>1 vale
ln(x^2)=2ln x>ln x,
logo y=ln(x^2) é a fronteira superior e y=ln x a fronteira inferior.

Passo 4

Aplicando a fórmula da área entre curvas de x=1 a x=2, a integral que define a área é
integral1^2l(ln(x^2)-ln xr),dx

Resposta

integral1^2l(ln(x^2)-ln xr),dx

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