Suponha que a cada mês uma população aumenta na razão
, isto é, no primeiro mês é
, no segundo mês
, etc. Mostre que a população
satisfaz uma equação diferencial do tipo
e determine
em função de
.
Passo 1
O enunciado diz que, a cada mês inteiro, a população cresce por um fator
, ou seja, na sequência discreta temos
Queremos estender isso para tempo contínuo
e mostrar que a função
satisfaz
para algum
, e então determinar
em função de
.
Passo 2
Para modelar crescimento contínuo usamos a solução geral da equação
, que é
Impondo a condição inicial
encontramos
. Como em um mês (isto é, em
) a população deve ser
, temos
Passo 3
Tomando logaritmo natural em
, obtemos
Logo a função contínua
satisfaz a equação diferencial
com
.
Resposta
A população satisfaz
com
.