Suponha que a cada mês uma população aumenta na razão k, isto é, no primeiro mês é p0, no segundo mês k p0, etc. Mostre que a população p(t) satisfaz uma equação diferencial do tipo p^prime=lambda p e determine lambda em função de k.

Passo 1

O enunciado diz que, a cada mês inteiro, a população cresce por um fator k, ou seja, na sequência discreta temos
p(n)=p0,k^n, n=0,1,2,dots
Queremos estender isso para tempo contínuo tinR>=0 e mostrar que a função p(t) satisfaz
p'=lambda,p
para algum lambda, e então determinar lambda em função de k.

Passo 2

Para modelar crescimento contínuo usamos a solução geral da equação p'=lambda p, que é
p(t)=A,e^lambda t
Impondo a condição inicial p(0)=p0 encontramos A=p0. Como em um mês (isto é, em t=1) a população deve ser k,p0, temos
p(1)=p0,e^lambda=k,p0 Longrightarrow e^lambda=k

Passo 3

Tomando logaritmo natural em e^lambda=k, obtemos
lambda=ln(k)
Logo a função contínua
p(t)=p0,e^ln(k),t=p0,k^t
satisfaz a equação diferencial
p'=lambda,p
com lambda=ln(k).

Resposta

A população satisfaz p'=lambda,p com lambda=ln(k).

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