Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=4-2 cosh x, y=12 senh x

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pelas curvas
y = 4 - 2cosh x
e
y = tfrac12sinh x
e sua área. Vamos usar interseção de curvas para achar os limites em x, depois integrar a diferença yrm topo-yrm base.

Passo 2

Para encontrar as interseções, igualamos
e multiplicamos tudo por 2:
Podemos escrever
onde e . Assim
Chamando
temos as soluções
Convenientemente nota-se que
e

Passo 3

No intervalo [x1,x2] verifica-se em x=0 que
4-2cosh0 = 2, tfrac12sinh0 = 0,
logo 4-2cosh x é a curva de cima e tfrac12sinh x de baixo. A área é
A = integralx1^x2l[(4-2cosh x)-tfrac12sinh xr],dx

Passo 4

Calculamos a integral indefinida:
integrall(4 - 2cosh x - tfrac12sinh xr),dx = 4x - 2sinh x - tfrac12cosh x + C

Passo 5

Para simplificar, mude de variável t = x+alpha. Então xin[x1,x2] vira tin[-T,T] e, usando as identidades de soma, obtém-se que o integrando fica
4 - tfracraiz152cosh t
Assim
A = integral-T^T!l(4 - tfracraiz152cosh tr),dt = 4cdot(2T);-;tfracraiz152l[sinh tr]-T^T = 8T - raiz15,sinh T
Substituindo T=tfrac12ln15 e sinh T=tfrac7raiz15, vem
A = 8!l(tfrac12ln15r);-;raiz15,tfrac7raiz15 = 4ln15 - 7

Resposta

A área da região é 4ln15 - 7.

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