Defina, mas não calcule, uma integral que represente a área da região compreendida entre as curvas fornecidas.
y=2-x, y=2 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pelas curvas
y = 2 - x
e
y = 2x - x^2
O conteúdo aqui é “área entre duas curvas”. Para isso precisamos:
  1. encontrar os pontos de interseção (que serão os limites de integração em x);
  2. identificar qual função está acima da outra nesse intervalo;
  3. escrever a integral da diferença “função de cima menos função de baixo”.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção resolvendo
2 - x = 2x - x^2
Reorganizando, fica
x^2 - 3x + 2 = 0
que tem raízes
x = 1, x = 2

Passo 3

Para saber qual curva é a superior em [1,2], avaliamos num ponto intermediário, por exemplo em x=1,5:
yreta = 2 - 1,5 = 0,5, yparábola = 2cdot1,5 - (1,5)^2 = 3 - 2,25 = 0,75 á
Logo, no intervalo [1,2] temos
yparábola = 2x - x^2 á
acima de
yreta = 2 - x

Passo 4

A área buscada é dada por
integral1^2l[(2x - x^2)-(2 - x)r],dx

Resposta

boxedintegral1^2l[(2x - x^2)-(2 - x)r],dx

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