Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico, indicando sua altura e largura. Em seguida, determine a área da região.
y=x^2+2, y=-x-1, x=0, x=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 + 2, y = -x - 1, x = 0, x = 1
Aqui o conteúdo é cálculo de área por integração de funções de x, pois as fronteiras laterais são as retas verticais x=0 e x=1.

Passo 2

Esboçando rapidamente no plano xy:
– A parábola y=x^2+2 abre para cima, passando por (0,2) e (1,3).
– A reta y=-x-1 tem declive -1, passando por (0,-1) e (1,-2).
– As linhas x=0 e x=1 fecham a região à esquerda e à direita.
No segmento 0<= x<=1 temos sempre
ytop=x^2+2 e ybot=-x-1

Passo 3

Como as fronteiras em x são retas verticais e as curvas estão expressas como y=f(x), é mais natural integrar em relação a x.

Passo 4

Um retângulo aproximante típico tem largura De<a x e altura dada pela diferença
De<a y = ytop - ybot = (x^2+2)-(-x-1) = x^2 + x + 3

Passo 5

A área da região é
Área =integralx=0^1l(x^2+x+3r),dx Á
Calculando,
integral0^1x^2,dx=tfrac13, integral0^1x,dx=tfrac12, integral0^13,dx=3,
logo
Área =tfrac13+tfrac12+3 =2+3+186 =236 Á

Resposta

A área da região é 236.

Exercícios relacionados