Defina, mas não calcule, uma integral que represente a área da região compreendida entre as curvas fornecidas.
x=y^4, x=2-y^2

Passo 1

O enunciado nos dá as curvas
x = y^4
e
x = 2 - y^2
e pede a área da região compreendida entre elas. Como ambas estão expressas em função de y, vamos usar fatias horizontais, cujo método diz que
Área = integraly=y1^y=y2 l[xdireita(y) - xesquerda(y)r];dy Á

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as curvas:
y^4 = 2 - y^2
y^4 + y^2 - 2 = 0
fazer t = y^2 leva a
t^2 + t - 2 = 0
cuja solução relevante é t=1, ou seja y^2=1, daí y = pm 1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva fica à direita e qual à esquerda para yin[-1,1]. Tomando y=0:
x = y^4 = 0, x = 2 - y^2 = 2,
logo xesquerda(y)=y^4 e xdireita(y)=2 - y^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula da área obtemos
Área = integral-1^1 l[(2 - y^2) - y^4r];dy Á

Resposta

boxedintegral-1^1 l[(2 - y^2) - y^4r];dy

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