Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
& f: A subset R B subset R & x mapsto f(x)=y
f(x)=3 x^2-3 x-6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função f(x) = 3x^2 - 3x - 6 . Isso tudo faz parte da matéria de Funções Quadráticas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio e imagem, além de saber como identificar pontos importantes no gráfico de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como nossa função é um polinômio (não tem raízes quadradas, denominadores variando com x , ou outros fatores que possam restringir x ), o domínio é todos os números reais. Em notação matemática:
Domínio: A = R í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de y que a função pode assumir. Como nossa função é uma parábola com coeficiente a = 3 positivo, ela abre para cima, o que significa que tem um valor mínimo. Para encontrar esse valor mínimo, precisamos achar o vértice da parábola.
A fórmula para a coordenada x do vértice é:
xv = -b2a
Onde a = 3 e b = -3 :
xv = --32 times 3 = 36 = 0,5
Agora, substituímos xv na função para encontrar yv :
yv = 3(0,5)^2 - 3(0,5) - 6 = 3(0,25) - 1,5 - 6 = 0,75 - 1,5 - 6 = -6,75
Então, o valor mínimo de y é -6,75. Como a parábola abre para cima, y pode ser qualquer número maior ou igual a -6,75. Portanto:
Ima>=m: B = y in R | y >= -6,75

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico da função f(x) = 3x^2 - 3x - 6 . Sabemos que é uma parábola que abre para cima e tem o vértice em (0,5, -6,75) . Além disso, podemos encontrar as raízes da função para saber onde ela intercepta o eixo x .
Para encontrar as raízes, resolvemos f(x) = 0 :
3x^2 - 3x - 6 = 0
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
x^2 - x - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = -1 , e c = -2 :
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 times 1 times (-2)2 times 1 = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, as raízes são:
x = 1 + 32 = 2 e x = 1 - 32 = -1
Portanto, a parábola intercepta o eixo x em x = -1 e x = 2 . Também sabemos que ela intercepta o eixo y quando x = 0 :
f(0) = 3(0)^2 - 3(0) - 6 = -6
Então, o ponto de interseção com o eixo y é (0, -6) .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Vértice em (0,5, -6,75) .
  2. Raízes em (-1, 0) e (2, 0) .
  3. Interseção com o eixo y em (0, -6) .
  4. A parábola abre para cima.
Desenhando esses pontos e a forma da parábola, temos o gráfico da função f(x) = 3x^2 - 3x - 6 .

Resposta

  • Domínio: A = R
  • Imagem: B = y in R | y >= -6,75
  • Gráfico: Parábola com vértice em (0,5, -6,75) , raízes em (-1, 0) e (2, 0) , e interseção com o eixo y em (0, -6) , abrindo para cima.

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