Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Isso tudo faz parte da matéria de Funções Quadráticas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio e imagem, além de saber como identificar pontos importantes no gráfico de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como nossa função é um polinômio (não tem raízes quadradas, denominadores variando com
, ou outros fatores que possam restringir
), o domínio é todos os números reais. Em notação matemática:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir. Como nossa função é uma parábola com coeficiente
positivo, ela abre para cima, o que significa que tem um valor mínimo. Para encontrar esse valor mínimo, precisamos achar o vértice da parábola.
A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Onde
e
:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o valor mínimo de
é -6,75. Como a parábola abre para cima,
pode ser qualquer número maior ou igual a -6,75. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que é uma parábola que abre para cima e tem o vértice em
. Além disso, podemos encontrar as raízes da função para saber onde ela intercepta o eixo
.
Para encontrar as raízes, resolvemos
:
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, as raízes são:
Portanto, a parábola intercepta o eixo
em
e
. Também sabemos que ela intercepta o eixo
quando
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Vértice em
. - Raízes em
e . - Interseção com o eixo
em . - A parábola abre para cima.
Desenhando esses pontos e a forma da parábola, temos o gráfico da função
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: Parábola com vértice em
, raízes em e , e interseção com o eixo em , abrindo para cima.