Defina:
Operador linear diagonalizável

Passo 1

O enunciado pede a definição de operador linear diagonalizável, tema de Álgebra Linear ligado a espaços vetoriais de dimensão finita, operadores Tcolon Vto V, vetores próprios e representação matricial.

Passo 2

Um operador linear Tcolon Vto V preserva soma e multiplicação escalar. Ao escolher uma base B de V, cada vin V tem coordenadas em B e T é representado por uma matriz [T]B.

Passo 3

Chamamos vneq0 de vetor próprio de T se existe lambdain K tal que T(v)=lambda,v; esse lambda é o valor próprio.

Passo 4

Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base B de V formada inteiramente por vetores próprios de T. Nessa base, a matriz [T]B é diagonal, pois T atua simplesmente como multiplicação escalar em cada vetor próprio.

Resposta

Um operador linear Tcolon Vto V em um espaço vetorial de dimensão finita é diagonalizável se e somente se existe uma base de V composta por vetores próprios de T, o que equivale a dizer que, em tal base, a matriz de T é diagonal.

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