Defina:
Operador linear diagonalizável
Operador linear diagonalizável
Passo 1
O enunciado pede a definição de operador linear diagonalizável, tema de Álgebra Linear ligado a espaços vetoriais de dimensão finita, operadores
, vetores próprios e representação matricial.
Passo 2
Um operador linear
preserva soma e multiplicação escalar. Ao escolher uma base
de
, cada
tem coordenadas em
e
é representado por uma matriz
.
Passo 3
Chamamos
de vetor próprio de
se existe
tal que
; esse
é o valor próprio.
Passo 4
Dizemos que
é diagonalizável se existe uma base
de
formada inteiramente por vetores próprios de
. Nessa base, a matriz
é diagonal, pois
atua simplesmente como multiplicação escalar em cada vetor próprio.
Resposta
Um operador linear
em um espaço vetorial de dimensão finita é diagonalizável se e somente se existe uma base de
composta por vetores próprios de
, o que equivale a dizer que, em tal base, a matriz de
é diagonal.