Verifique se o operador linear T: P2(R) P2(R) dado por
T(p(x))=p^prime prime(x)-2 p^prime(x)+p(x)
é ciagonaiizávei. Caso aifmaîvo, ceteimine uma base de autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon P2(R)to P2(R), Tl(p(x)r)=p''(x)-2,p'(x)+p(x),
e pede para verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma base de autovetores.
Conteúdo: representação matricial em uma base canônica, cálculo de autovalores e autovetores, critério de diagonalização (multiplicidade geométrica vs. algébrica).

Passo 2

Seja
p(x)=a x^2 + b x + c
Então
p'(x)=2ax+b, p''(x)=2a,
logo
T(p)(x) =2a -2(2ax+b) + (a x^2 + b x + c) = a x^2 + (b-4a)x + (2a-2b+c)

Passo 3

Na base canônica , se , então
Assim a matriz de é

Passo 4

Como M é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo
lambda=1
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 5

Para o autespaço de resolvemos , isto é
As equações são e , com livre. Logo
tem dimensão geométrica 1.

Passo 6

A multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (3), portanto T não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

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