Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(x, y, z)=(4 x+2 y,-x+y, y+2 z)
Determine o polinômio minimal de [T] e verifique se T é diagonalizável. Caso afirmativo, determine uma base de autovetores.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z)=(4x+2y,,-x+y,;y+2z)
Precisamos achar o polinômio mínimo de [T] (a matriz de T) e verificar se T é diagonalizável, usando para isso o polinômio característico e as dimensões dos autespaços.

Passo 2

Em relação à base canônica e1,e2,e3, a matriz de T é
[T]= 4 & 2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
chiT(lambda)=det(lambda I-[T]) =det lambda-4 & -2 & 0 1 & lambda-1 & 0 0 & -1 & lambda-2 =(lambda-2)detlambda-4 & -21 & lambda-1
Calculando esse menor de ordem 2,
detlambda-4 & -21 & lambda-1 =(lambda-4)(lambda-1)+2 =lambda^2-5lambda+6
Portanto
chiT(lambda)=(lambda-2)(lambda^2-5lambda+6) =(lambda-2)^2(lambda-3)

Passo 4

Os autovalores são
lambda=2 com multiplicidade algébrica 2
e
lambda=3 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Para resolvemos , isto é
que implica , e livre. Assim
Para resolvemos , ou seja
que dá e . Logo

Passo 6

Como a dimensão do autespaço de lambda=2 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existem 3 autovetores independentes. Logo T não é diagonalizável. O polinômio mínimo precisa de fator (lambda-2) ao quadrado e de (lambda-3) uma vez, ou seja
mT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-3)

Resposta

O polinômio mínimo é mT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-3) e T não é diagonalizável.

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