Determine o polinômio minimal de e verifique se é diagonalizável. Caso afirmativo, determine uma base de autovetores.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear definido por
Precisamos achar o polinômio mínimo de (a matriz de ) e verificar se é diagonalizável, usando para isso o polinômio característico e as dimensões dos autespaços.
Os autovalores são lambda=2 com multiplicidade algébrica 2
e lambda=3 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 5
Para resolvemos , isto é
que implica , e livre. Assim
Para resolvemos , ou seja
que dá e . Logo
Passo 6
Como a dimensão do autespaço de lambda=2 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existem 3 autovetores independentes. Logo T não é diagonalizável. O polinômio mínimo precisa de fator (lambda-2) ao quadrado e de (lambda-3) uma vez, ou seja
mT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-3)
Resposta
O polinômio mínimo é mT(lambda)=(lambda-2)^2(lambda-3) e T não é diagonalizável.